Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (CUNEF Universidad) y Wojciech S. Ożański (Florida State University) construyen por primera vez soluciones de la ecuación cuasi-geostrófica de superficie que pierden de forma inmediata su regularidad y continúan haciéndolo de forma continua y cuantificable a medida que pasa el tiempo.
Una cuestión fundamental en la teoría matemática de los fluidos es cómo y por qué las soluciones clásicas a las ecuaciones que describen el movimiento del flujo pueden perder rápidamente su regularidad. El objetivo es comprender si estas ecuaciones se comportan correctamente a lo largo del tiempo o si, por el contrario, desarrollan irregularidades o singularidades. Un nuevo trabajo de Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (Cunef Universidad) y Wojciech S. Ożański (Florida State University) aporta avances en este problema, para la ecuación cuasi-geostrófica de superficie (SQG).
La ecuación SQG describe la evolución de una temperatura o densidad definida sobre una superficie —por ejemplo, la superficie del océano o una interfaz atmosférica— que determina el movimiento del fluido. Esta ecuación es muy estudiada como un análogo simplificado de las ecuaciones tridimensionales de Euler. Conserva la estructura suficiente para modelar fenómenos físicos realistas, a la vez que es más manejable que las ecuaciones completas de Euler. Por ello, se ha convertido en un popular campo de pruebas para estudiar ideas sobre inestabilidad, turbulencia y formación de singularidades.
Investigaciones anteriores han demostrado que, en ciertos regímenes, la ecuación SQG está mal planteada: perturbaciones muy pequeñas del estado inicial pueden provocar cambios drásticos en la solución. Ahora, un reciente trabajo demuestra, por primera vez en la mecánica de fluidos incompresibles, que la pérdida continua de regularidad de Sobolev puede producirse de forma controlada y explícita, incluso cuando las soluciones siguen siendo únicas y definidas clásicamente.
Los matemáticos han conseguido construir soluciones clásicas que comienzan con una norma de Sobolev supercrítica arbitrariamente pequeñas, pero que pierden de forma inmediata su regularidad y continúan haciéndolo de forma continua y cuantificable a medida que pasa el tiempo. En lugar de un colapso repentino en un solo momento, la solución se vuelve gradualmente más irregular, perdiendo regularidad a un ritmo constante. Esto demuestra que, incluso cuando las soluciones existen y son únicas en un sentido razonable, su regularidad puede deteriorarse sin cesar. Es importante destacar que esta pérdida de regularidad se produce mientras la solución sigue siendo clásica en el tiempo y el espacio y se mantiene compacta.
Este nuevo resultado es totalmente constructivo, es decir, los autores construyen explícitamente soluciones que exhiben este comportamiento. Su construcción se basa en patrones de flujo cuidadosamente dispuestos que crean fuertes efectos de estiramiento y compresión, similares a lo que ocurre cerca de los puntos hiperbólicos en los flujos, al tiempo que se mantiene el control sobre los errores y las interacciones.
Al ensamblar infinitas estructuras de este tipo a diferentes escalas espaciales, los autores producen una solución cuya regularidad disminuye continuamente en el tiempo. Este mecanismo multiescala es lo suficientemente robusto y preciso como para rastrear exactamente cuánta suavidad se pierde en cada momento, con un nivel de detalle excepcional.
Referencia
Córdoba, D., Martínez-Zoroa, L., Ożański, W. S., Instantaneous continuous loss of regularity for the SQG equation, Advances in Mathematics 481 (2025), 110553, https://doi.org/10.1016/j.aim.2025.110553.