Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (ICMAT-CSIC) y Wojciech S. Ozanski (Florida State University, EE UU) son los autores de «Instantaneous gap loss of Sobolev regularity for the 2D incompressible Euler equations”, publicado en Duke Mathematical Journal.
El movimiento de un fluido viene descrito por las ecuaciones de Euler, unas de las ecuaciones en derivadas parciales más antiguas. En el flujo se observan estructuras de diferentes escalas que, en términos matemáticos, se pueden analizar con las normas de Sobolev, que miden la regularidad de la velocidad del fluido. Partiendo de un flujo muy regular, ¿seguirá siéndolo a lo largo del tiempo? En espacios subcríticos, la regularidad sí se conserva. Pero en espacios supercríticos, puede suceder que la norma de Sobolev se vuelva instantáneamente infinita o que pierda suavidad de manera abrupta.
Un nuevo trabajo de Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (ICMAT-CSIC) y Wojciech S. Ozanski (Florida State University, EE UU) ofrece, precisamente, soluciones clásicas globales únicas de las ecuaciones de Euler en dos dimensiones incompresibles con energía finita que tienen una pérdida instantánea de la brecha de las normas de Sobolev supercríticas. Más concretamente, los autores construyen soluciones únicas de las ecuaciones de Euler 2D incompresibles para todo tiempo (en formulación de vorticidad) con vorticidad inicial en espacios de Sobolev supercríticos H^β , 0 < β < 1, con la propiedad que para t > 0, ya no está en ningún espacio H^β ′ , donde β ′ > (2 − β)β/ (2 − β^2) .
Su demostración, publicada en Duke Mathematical Journal, se basa en un nuevo método que trata de estudiar pseudosoluciones de la ecuación, que permite seguir la evolución de una solución de la ecuación, dada una familia de datos iniciales. Este método resulta más eficaz con datos iniciales que sean cada vez más oscilatorios, ya que los datos iniciales con grandes oscilaciones y alta concentración permiten controlar mejor el error entre la pseudosolución y la solución real de la ecuación. Por el contrario, los métodos clásicos pierden eficacia a medida que aumentan las oscilaciones de los datos iniciales. El método de las pseudosoluciones compensa esta limitación identificando el comportamiento de orden principal de la solución responsable de la pérdida de control. Al localizar explícitamente (o casi explícitamente) este comportamiento, el esfuerzo principal se reduce a estimar el error de aproximación. Cuanto más cuidadosamente se elija la pseudosolución, más fácil será controlar estos errores.
Esta ventaja es evidente en el análisis de las ecuaciones de Euler en dos dimensiones, donde las nuevas herramientas analíticas proporcionan un fuerte control sobre las oscilaciones en la variable angular, particularmente entre las componentes interna y externa de la pseudosolución. Sin embargo, en el caso de las ecuaciones de Euler, la obtención de cotas inferiores para la norma de la pseudosolución (o de la solución exacta) supone un reto, pero es necesario para demostrar el crecimiento de esta norma a lo largo del tiempo. Para ello, los autores estiman (por arriba) normas de Sobolev homogéneas de orden negativo para la pseudosolución y aplican técnicas de interpolación para obtener los límites inferiores necesarios. Estos avances les han permitido demostrar una «pérdida de brecha» en la regularidad de Sobolev.
Referencia: Diego Córdoba, Luis Martínez-Zoroa, Wojciech S. Ozanski. «Instantaneous gap loss of Sobolev regularity for the 2D incompressible Euler equations.» Duke Mathematical Journal, 173(10) 1931-1971 15 July 2024. https://doi.org/10.1215/00127094-2023-0052