En el artículo “Rings of Siegel–Jacobi forms of bounded relative index are not finitely generated”, Ana María Botero (Universidad de Regensburg, Alemania, cuando se realizó el trabajo, actualmente en la Universidad de Bielefeld, Alemania), José Ignacio Burgos Gil (ICMAT-CSIC) y David Holmes y Robin de Jong (ambos del Instituto Matemático de la Universidad de Leiden, Países Bajos), prueban lo que indica el título: los anillos de formas de Siegel–Jacobi de índice relativo acotado no son finitamente generados, lo contrario que se creía hasta el momento.
En las ciencias experimentales, ninguna ley es inmutable. Todas deben ser confrontadas con la realidad continuamente y, si un experimento posterior muestra que una ley es inexacta, esta es reemplazada por otra. En matemáticas, por el contrario, si un resultado está demostrado, queda escrito en piedra y es un valor inmutable. Sin embargo, la complejidad de las matemáticas actuales hace imposible, en muchos casos, la comprobación exhaustiva de todos los resultados en un proceso de revisión por pares, lo que hace que pueda haber errores en demostraciones publicadas y consideradas correctas. En general, estos errores no se descubren leyendo las demostraciones, sino porque tienen consecuencias que contradicen otros resultados.
Hace más de 30 años se publicó un resultado que era demasiado bueno para ser verdad. Trataba sobre las llamadas formas modulares de Siegel–Jacobi, una generalización de las formas modulares, que incluye las funciones theta, de gran importancia en el estudio de las variedades abelianas y de sus familias. Así como las formas modulares clásicas están clasificadas por un número, el peso, las formas de Siegel–Jacobi están clasificadas por dos números, el peso y el índice. Uno de los problemas clásicos de la teoría consiste en calcular la dimensión del espacio de formas de Siegel–Jacobi de un peso e índice dados.
En los años 90 del siglo pasado Bernhard Runge publicó un resultado que afirmaba que el anillo de formas de Siegel–Jacobi con el cociente entre el peso y el índice fijado es finito generado. Esto implicaría que las dimensiones de las formas de Siegel–Jacobi deberían ser relativamente fáciles de calcular. Sería algo parecido a calcular el número de puntos enteros de una red contenidos en los múltiplos de un poliedro con vértices racionales. Sin embargo, el problema de la dimensión de los espacios de formas de Siegel–Jacobi es más complejo y se parece a contar el número de puntos enteros de una red contenidos en los múltiplos de un convexo curvado. Algo fallaba.
Recientemente, Ana María Botero (que cuando se realizó el trabajo estaba en la Universidad de Regensburg, Alemania, pero ahora está en la Universidad de Bielefeld, Alemania), José Ignacio Burgos Gil (ICMAT-CSIC) y David Holmes y Robin de Jong (ambos del Instituto Matemático de la Universidad de Leiden, Países Bajos han demostrado, rigurosamente, que el resultado era erróneo, es decir, que el anillo de formas de Siegel–Jacobi con un cociente entre el peso y el índice fijado y positivo nunca es finito generado. Para ello, utilizan la teoría de b-divisores toroidales.
Además, aplican esas técnicas para demostrar una conjetura de Kramer sobre la interpretación de las formas de Siegel–Jacobi como secciones globales de ciertos fibrados y ofrecen una nueva demostración de una fórmula de Tai sobre el comportamiento asintótico de la dimensión del espacio de formas de Siegel–Jacobi. Los resultados se publican en la revista Duke Mathematical Journal.
- Referencia: Ana María Botero, José Ignacio Burgos Gil, David Holmes, Robin de Jong. «Rings of Siegel–Jacobi forms of bounded relative index are not finitely generated,» Duke Mathematical Journal, Duke Math. J. 173(12), 2315-2396, (1 September 2024).