Imagen: Álvaro Minguito/ICMAT
¿Qué significa estar “cerca” del mejor resultado posible en matemáticas? Un nuevo trabajo, firmado por Matteo Bonforte (ICMAT-UAM), Jean Dolbeault (Universidad de Paris-Dauphine-CNRS, Francia), Bruno Nazaret (Universidad Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Francia) y Nikita Simonov (Universidad Sorbona, Francia), aporta una respuesta precisa a esta pregunta en el contexto de las desigualdades de Gagliardo–Nirenberg, mostrando que esa cercanía no solo puede demostrarse, sino también medirse cuantitativamente y de manera constructiva. El resultado se ha publicado en Memoirs of the American Mathematical Society.
Las desigualdades funcionales son una herramienta central en el análisis matemático y en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales. Entre ellas, las desigualdades de Gagliardo–Nirenberg ocupan un lugar destacado: permiten relacionar distintas normas de una función (por ejemplo, cuánto “oscila” y cuánto “crece”) y son fundamentales en problemas que van desde la difusión –también la no lineal– y la mecánica de fluidos hasta la física matemática, la biología, la ingeniería y más recientemente el aprendizaje automático (machine learning).
En un reciente trabajo, los investigadores Matteo Bonforte (ICMAT-UAM), Jean Dolbeault (Universidad de Paris-Dauphine-CNRS, Francia), Bruno Nazaret (Universidad Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Francia) y Nikita Simonov (Universidad Sorbona, Francia) establecen un resultado de estabilidad para una amplia clase de desigualdades de Gagliardo–Nirenberg-Sobolev, en el régimen subcrítico y crítico.
El avance no solo confirma cuándo se alcanza el mejor caso posible en estas desigualdades, sino que además mide de forma precisa y constructiva –es decir, todas las constantes involucradas están calculadas explícitamente– qué ocurre cuando estamos “cerca” de ese óptimo.
Muchas desigualdades matemáticas tienen funciones que alcanzan el valor óptimo de las constantes en la desigualdad, es decir, las que cumplen la igualdad, que son llamadas funciones extremales. En el caso de las desigualdades de Sobolev (en su caso critico), estas funciones han sido encontradas en los años 70 del siglo pasado, de forma independiente, por Thierry Aubin, Giorgio Talenti y Eugene Rodemich. En el caso de las de Gagliardo-Nirenberg (en el caso subcrítico, más difícil) por Manuel Del Pino y Jean Dolbeault, en 2002. Sin embargo, en aplicaciones reales, es frecuente trabajar con funciones que no son exactamente óptimas, sino casi óptimas (como decía Platón, la diferencia entre el “mundo de las ideas” y el “mundo real”).
Ahora bien, si una función “casi alcanza” la igualdad en una desigualdad de Gagliardo–Nirenberg-Sobolev, ¿está necesariamente cerca de las funciones óptimas? Un resultado de estabilidad responde afirmativamente a esta cuestión y, además, cuantifica esa cercanía para que el resultado sea útil en las aplicaciones y permita extraer informaciones cuantitativas sobre esta función “casi optima”, lo que es especialmente interesante en las aplicaciones, ya que permite hacer predicciones precisas.
En este nuevo trabajo, la desviación respecto al caso óptimo se mide mediante un déficit, que controla en normas fuertes la distancia a la variedad (o familia) de funciones extremales. Es decir, no solo se sabe que la función está cerca: es posible medir precisamente cuánto y afirmar que una función “casi optima” siempre está cerca de las funciones extremales, que son explícitas en este caso.
El enfoque desarrollado en el artículo conecta la estabilidad de una desigualdad estática con el comportamiento dinámico de una ecuación en derivadas parciales, en concreto, la ecuación de difusión rápida. Con ello, demostrar estabilidad en la desigualdad es equivalente a probar que el flujo dinámico converge más rápidamente hacia su estado estacionario (o de equilibrio), usando un método de entropía. Uno de los puntos clave es entender la “naturaleza entrópica” de estas desigualdades: en realidad se pueden reescribir como desigualdades entre entropía y producción de entropía, asociadas a la ecuación de difusión rápida. Esto también desvela una característica “escondida” en estas desigualdades: su conexión profunda con la realidad de ciertos fenómenos físicos.
Además, los autores proponen una interacción entre análisis no lineal, teoría espectral y ecuaciones en derivadas parciales, que permite conectar las distintas escalas temporales del problema (desde el comportamiento inicial hasta el régimen asintótico) en un marco unificado. La idea subyacente es que el flujo no-lineal de difusión rápida transporta cierta función, que representa una distribución inicial de temperatura, por ejemplo, en su estado de equilibrio dinámico (el análogo no lineal de la gaussiana) que es, precisamente, una de las funciones extremales de las desigualdades de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev “con la misma masa”, que se conserva a lo largo de la evolución. Se puede intuir así la relación entre la convergencia al equilibrio en difusiones no lineales y la cercanía a los extremales en las desigualdades funcionales. Se trata de dos maneras equivalentes, pero no evidentes, de interpretar la estabilidad descrita arriba. Esta idea profunda, que conecta dos campos a priori muy lejanos, ha sido introducida en este trabajo por primera vez y tiene el potencial para ser utilizada para el estudio de otros problemas de estabilidad, tanto estáticos como dinámicos.
Referencia
Bonforte, Matteo; Dolbeault, Jean; Nazaret, Bruno; Simonov, Nikita. Stability in Gagliardo–Nirenberg–Sobolev Inequalities Flows, Regularity, and the Entropy Method. Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 308, no. 1554, 2025. American Mathematical Society. Publicado electrónicamente el 8 de abril de 2025. ISBN 978-1-4704-7181-1 (print), 978-1-4704-8141-4 (online). https://doi.org/10.1090/memo/1554