Luis Álvarez-Cónsul (ICMAT-CSIC), David Fernández (Universidad Politécnica de Madrid, UPM) y Reimundo Heluani (IMPA) son los autores de “Noncommutative Poisson vertex algebras and Courant–Dorfman algebras”, publicado en Advances in Mathematics.
Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
Un nuevo trabajo estudia versiones no conmutativas de álgebras de Courant–Dorfman y de álgebras de vértice de Poisson. Un álgebra de Courant–Dorfman es una versión algebraica de un algebroide de Courant, esto es, un 2-algebroide de Lie 2-simpléctico. Este último es un objeto geométrico motivado por trabajos iniciados de manera independiente pero simultánea sobre variedades de Dirac por Ted Courant, y sobre sistemas integrables por Irene Dorfman. Hoy en día tiene relevancia tanto en geometría y como en física, especialmente en geometría compleja generalizada, supergravedad, teoría conforme de campos y teoría de gauge de orden superior. Un álgebra de vértices de Poisson es la estructura algebraica subyacente de una teoría clásica de campos. Proporciona un enfoque unificador para ecuaciones en derivadas parciales hamiltonianas integrables, y recibe su nombre porque los límites cuasi-clásicos de las álgebras de vértices de Borcherds son siempre de este tipo. Y resulta que las álgebras de vértices de Poisson graduadas generadas libremente en grados 0 y 1 están en biyección con las álgebras de Courant–Dorfman.
Cabe destacar que muchas ecuaciones hamiltonianas integrables admiten generalizaciones en las cuales los campos toman sus valores en un álgebra asociativa, no conmutativa, que pueden considerarse versiones cuantizadas de los sistemas integrables clásicos. Los intrincados cálculos involucrados en estas generalizaciones pueden interpretarse con herramientas que se originan en el estudio geométrico de los campos de moduli que parametrizan las representaciones del álgebra. El principio de Kontsevich–Rosenberg es una regla heurística, utilizada en este contexto, según la cual una estructura en un álgebra asociativa es geométrica si induce la estructura geométrica correspondiente en los campos de móduli de representaciones.
Crawley-Boevey–Etingof–Ginzburg (2007), Van den Bergh (2008) y De Sole–Kac–Valeri (2015) han construido variantes no conmutativas de álgebras simplécticas, de Poisson, cuasi-simplécticas y de vértices de Poisson que satisfacen el principio de Kontsevich–Rosenberg. Se trata de estructuras no conmutativas que no reducen a las estructuras conmutativas estándar cuando las álgebras son conmutativas, pero que aún inducen las estructuras geométricas correspondientes en los campos de móduli de representaciones.
Luis Álvarez-Cónsul (ICMAT-CSIC), David Fernández (Universidad Politécnica de Madrid, UPM), y Reimundo Heluani (IMPA) introducen un nuevo concepto: el álgebra de Courant–Dorfman doble. En “Noncommutative Poisson vertex algebras and Courant–Dorfman algebras”, los autores demuestran que este concepto satisface el principio de Kontsevich–Rosenberg y que es equivalente a un álgebra de vértices de Poisson no conmutativa generada libremente en grados 0 y 1. Para obtener ejemplos no triviales, prueban una nueva identidad de Cartan para el cálculo diferencial no conmutativo. Junto con las identidades obtenidas previamente por Crawley-Boevey–Etingof–Ginzburg (2007) y Van den Bergh (2008), los autores han descubierto una variante no conmutativa del cálculo diferencial de Cartan utilizado en la geometría ordinaria.
Referencia: Álvarez-Cónsul L, Fernández D, Heluani R. Noncommutative Poisson vertex algebras and Courant–Dorfman algebras. Adv Math. 2023;433:109269. doi:10.1016/j.aim.2023.109269