Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
Un trabajo reciente logra simplificar de forma notable un resultado clave obtenido en 2018 por el matemático ruso Misha Vishik sobre la falta de unicidad en las ecuaciones de Euler. Mediante la construcción de un vórtice inestable conceptualmente más claro, Ángel Castro (ICMAT-CSIC), Daniel Faraco (ICMAT-UAM), Francisco Mengual (Universidad de Sevilla) y Marcos Solera (Universitat de València) reducen drásticamente la complejidad técnica de la demostración y abren la puerta a aplicar estas ideas a otros modelos fundamentales de la dinámica de fluidos.
Las ecuaciones de Euler, formuladas en el siglo XVIII por Leonhard Euler, describen el movimiento de los fluidos ideales, es decir, aquellos que no presentan viscosidad. Estas ecuaciones siguen planteando algunos de los problemas más profundos y difíciles de la matemática contemporánea, especialmente en lo relativo a la existencia y unicidad de sus soluciones.
En dos dimensiones, uno de los resultados fundamentales es el teorema de Yudovich, que garantiza que las ecuaciones de Euler admiten una solución global única cuando la vorticidad (una magnitud que mide la rotación local del fluido) inicial pertenece a una clase de funciones concretas, L^1∩L^∞. Este teorema ha servido durante décadas como una referencia para entender cuándo el comportamiento de un fluido ideal está bien determinado por sus condiciones iniciales.
Si se debilitan estas hipótesis (por ejemplo, se pide que la vorticidad esté en L^1∩L^p, con p un valor finito), se sabe que la existencia sigue siendo válida, pero demostrar la unicidad en este régimen sigue siendo un problema abierto y de gran interés.
En 2018, el matemático Misha Vishik dio un paso decisivo al demostrar que la unicidad puede fallar si se introduce una fuerza externa en el sistema, siempre que esta fuerza pertenezca al espacio natural L1(L1∩Lp). Su demostración, desarrollada en dos artículos que suman más de 130 páginas, puso de manifiesto la delicadeza extrema del problema y abrió nuevas líneas de investigación sobre la inestabilidad de los flujos.
En un nuevo trabajo, Ángel Castro (ICMAT-CSIC), Daniel Faraco (ICMAT-UAM), Francisco Mengual (Universidad de Sevilla) y Marcos Solera (Universitat de València) presentan una prueba alternativa y considerablemente más simple de este resultado, reduciendo el argumento a unas 30 páginas. La principal innovación del artículo es la construcción de un vórtice inestable mucho más sencillo que el propuesto originalmente por Vishik. A diferencia del vórtice previo, el nuevo ejemplo tiene media cero y soporte compacto, propiedades que simplifican notablemente el análisis y refuerzan la claridad conceptual del mecanismo de no unicidad.
Más allá del resultado concreto para las ecuaciones de Euler, las ideas propuestas en este trabajo pueden trasladarse a otros modelos fundamentales de la dinámica de fluidos. De hecho, en un estudio independiente, los autores han demostrado la no unicidad de soluciones para la ecuación α-SQG (Surface Quasi-Geostrophic generalizada) en el rango 0<α≤1, dentro de la clase funcional crítica W^(s,p) con s<α+2p. El resultado incluye el caso límite α=1, correspondiente a la ecuación SQG clásica, de gran relevancia en geofísica y meteorología.
Referencia
Castro, Ángel, Faraco, Daniel, Mengual, Francisco and Solera, Marcos. «A proof of Vishik’s nonuniqueness theorem for the forced 2D Euler equation» Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol. 2025, no. 824, 2025, pp. 253-288. https://doi.org/10.1515/crelle-2025-0025