Imagen: Álvaro Minguito/ICMAT
Desde la demostración del último teorema de Fermat, el método modular se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la teoría de números moderna. Un nuevo trabajo amplía de forma decisiva este enfoque y abre la puerta a resolver amplias familias de ecuaciones diofánticas que hasta ahora quedaban fuera de su alcance.
Durante más de tres siglos, el último teorema de Fermat fue uno de los problemas más célebres y esquivos de las matemáticas. Formulado en el siglo XVII, afirmaba que la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras x, y, z no triviales cuando n es mayor que 2. Su demostración definitiva llegó en 1994-95, cuando Andrew Wiles logró resolverlo combinando ideas profundas de teoría de números, geometría algebraica y análisis complejo. Más allá de cerrar un problema histórico, su trabajo inauguró una nueva y poderosa estrategia para abordar las llamadas ecuaciones diofánticas —que son ecuaciones polinómicas cuyas soluciones se buscan en números enteros— conocida como el método modular.
La idea central de este método es traducir una posible solución de una ecuación diofántica en un objeto aparentemente muy distinto: una representación de Galois. Estas representaciones describen, de forma algebraica, simetrías profundas y codifican cómo se relacionan entre sí las soluciones de ecuaciones polinómicas. En el contexto del método modular, a cada posible solución se le asocia una representación de Galois bidimensional con valores en matrices 2×2, con coficientes numeros enteros módulo un número primo. El objetivo es demostrar que estas representaciones deben proceder de objetos analíticos muy bien clasificados, las formas modulares, lo que en muchos casos conduce a una contradicción y permite descartar la existencia de soluciones.
En la demostración del teorema de Fermat, el puente entre las ecuaciones diofánticas y las representaciones de Galois lo proporcionaron las llamadas curvas elípticas de Frey. Sin embargo, cuando se pasa a ecuaciones más generales —como las conocidas ecuaciones de Fermat generalizadas, del tipo x^r+y^q=z^p— esta estrategia deja de ser suficiente. En el año 2000, el matemático Henri Darmon propuso un ambicioso programa para extender el método modular sustituyendo las curvas elípticas por objetos más complejos: variedades abelianas de tipo GL2 definidas sobre cuerpos totalmente reales. Su enfoque, aunque conceptualmente muy prometedor, se apoyaba en conjeturas que han dificultado su aplicación práctica durante años.
Un nuevo trabajo da ahora un paso decisivo en esta dirección. En él, Nicolas Billerey (Universite Clermont Auvergne), Imin Chen (Simon Fraser University), Luis Dieulefait (Universidad de Barcelona) y Nuno Freitas (ICMAT-CSIC) desarrollan y perfeccionan las herramientas necesarias para aplicar de forma efectiva el método modular basado en variedades abelianas de Frey a nuevos problemas diofánticos. En particular, logran tratar casi por completo las ecuaciones de Fermat ^r+y^r=z^p, ampliando de manera significativa el alcance del programa de Darmon.
Además, el trabajo aborda una dificultad técnica importante que no había sido resuelta en el planteamiento original: incluso bajo hipótesis favorables sobre las representaciones de Galois residuales, es necesario descartar ciertas formas modulares —las llamadas formas de Hilbert sin multiplicación compleja— que no encajan en el esquema clásico del método modular. Las nuevas técnicas desarrolladas comienzan a ofrecer soluciones a este problema.
Como aplicación concreta de estos avances, los autores han obtenido nuevos resultados para las ecuaciones x^r+y^r=z^p, en los casos r=5 y r=11, proporcionando nuevas pruebas de inexistencia de soluciones enteras no triviales en amplios rangos de exponentes.
Referencia
Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas. On Darmon’s program for the generalized Fermat equation, I. Journal für die reine und angewandte Mathematik, In press, ⟨10.1515/crelle-2025-0014⟩. ⟨hal-04421240⟩