Imagen: Álvaro Minguito/ICMAT
Un estudio muestra cómo flujos suaves pueden extenderse y modificarse para producir soluciones débiles de las ecuaciones de Euler no únicas y muy singulares en tres dimensiones. El trabajo, firmado por Alberto Enciso (ICMAT-CSIC), Javier Peñafiel (ICMAT-CSIC) y Daniel Peralta-Salas (ICMAT-CSIC), se publica en la revista Forum of Mathematics, Pi.
Las ecuaciones de Euler, formuladas en el siglo XVIII, describen el movimiento de fluidos incompresibles (es decir, cuyo volumen es constante, como el agua) sin viscosidad y constituyen uno de los pilares de la mecánica de fluidos. Sus soluciones ofrecen, a partir de unas condiciones iniciales, una predicción de cómo va a comportarse el fluido en el futuro. Las llamadas soluciones débiles describen flujos muy irregulares, en los que la velocidad del fluido puede dejar de ser suave o incluso presentar discontinuidades. Estas soluciones son muy flexibles y resultan ser especialmente útiles para estudiar fenómenos turbulentos, pero pueden no ser únicas y presentar comportamientos muy distintos a los esperados a partir de la física clásica.
Un nuevo trabajo de Alberto Enciso (ICMAT-CSIC), Javier Peñafiel (ICMAT-CSIC) y Daniel Peralta-Salas (ICMAT-CSIC) muestra hasta qué punto las soluciones débiles de las ecuaciones de Euler en tres dimensiones pueden ser extraordinariamente flexibles. Los autores demuestran que cualquier solución clásica y suave, definida solo en una región limitada del espacio y del tiempo, puede prolongarse a todo el espacio como una solución débil durante ese mismo intervalo temporal. Esta extensión coincide exactamente con la solución original allí donde ambas están definidas y conserva un cierto grado de regularidad, aunque siempre por debajo de un umbral crítico. El resultado se apoya en la técnica de integración convexa, una herramienta que ha revolucionado el estudio de las ecuaciones de fluidos en la última década.
A partir de este teorema de extensión, el trabajo presenta dos aplicaciones especialmente llamativas. En la primera, se demuestra que, a partir de una configuración inicial muy simple, conocida como lámina vorticial (vortex sheet), se pueden construir infinitas soluciones débiles distintas que coinciden con la lámina prescrita fuera de una pequeña región turbulenta. Este fenómeno pone de manifiesto una forma extrema de no unicidad: el mismo estado inicial puede dar lugar a infinitas evoluciones matemáticamente válidas.
La segunda aplicación muestra que incluso cuando se parte de un flujo completamente suave definido en un dominio periódico, es posible modificarlo dentro de una región abierta concreta para obtener una solución débil que desarrolla singularidades en un conjunto del espacio-tiempo de medida positiva. Es decir, un comportamiento altamente irregular puede emerger de manera localizada, mientras el flujo sigue siendo suave y bien comportado fuera de la región elegida.
Referencia: Enciso A, Peñafiel-Tomás J, Peralta-Salas D. An extension theorem for weak solutions of the 3d incompressible Euler equations and applications to singular flows. Forum of Mathematics, Pi. 2025;13:e21. doi:10.1017/fmp.2025.10012