• “El trabajo de Faltings ha revolucionado la geometría aritmética. Demostró algunas de las conjeturas más importantes que se habían formulado en esta área a lo largo del siglo XX”, afirma Daniel Macías (ICMAT-CSIC).
• Su demostración de la conjetura de Mordell fue fundamental en avances posteriores del campo.
• El Premio Abel reconoce contribuciones extraordinarias a lo largo de toda una carrera en matemáticas y es considerado el equivalente al Nobel en esta disciplina.

El trabajo de Faltings ha revolucionado la geometría aritmética. Imagen: Peter Badge_Typos1_The Abel Prize.

El matemático alemán Gerd Faltings ha sido distinguido con el Premio Abel, el galardón con mayor prestigio de las matemáticas otorgado a toda una carrera. El jurado ha destacado sus contribuciones a la geometría aritmética, un campo en la intersección entre las dos ramas más antiguas de las matemáticas: la teoría de números y la geometría.

Faltings, director emérito del Instituto Max Planck de Matemáticas, es el primer alemán en obtener el premio de la Academia Noruega de Ciencias. Con tan solo 29 años se convirtió, de la noche a la mañana, en toda una celebridad de la comunidad matemática, tras dar respuesta a una importante conjetura propuesta hacía 60 años. Por aquel trabajo obtuvo la Medalla Fields en 1986.

“El trabajo de Faltings ha revolucionado la geometría aritmética, un área que estudia problemas procedentes de la teoría de números en un lenguaje y con unas herramientas pertenecientes a la geometría”, afirma Daniel Macías, investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y experto en el área.

“Demostró algunas de las conjeturas más importantes que se habían formulado en esta área a lo largo del siglo XX”, afirma. Su resultado central, el denominado teorema de Faltings, responde a una pregunta sencilla de formular: ¿cuántas soluciones racionales puede tener una ecuación diofántica? Se trata de ecuaciones polinómicas, es decir, combinaciones de sumas, restas y multiplicaciones de variables elevadas a exponentes enteros, cuyas soluciones se buscan, inicialmente, solo entre los números enteros.

Una de las grandes preguntas del siglo XX

Diversas civilizaciones antiguas, desde los babilonios a los mayas, ya conocían soluciones de estas ecuaciones, como, por ejemplo, x² +y² = z², que corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. Existen infinitos tríos de este tipo —las llamadas ternas pitagóricas—. Sin embargo, cuando las ecuaciones se vuelven más complejas, las soluciones dejan de ser infinitas y pasan a ser escasas, a veces incluso inexistentes.

Precisamente, una de las grandes preguntas del siglo XX fue entender en qué casos una ecuación de este tipo tiene muchas, pocas o ninguna solución. Si además se permiten soluciones racionales (cocientes de enteros), es posible usar herramientas geométricas y aritméticas más potentes para analizar la ecuación. “Las ecuaciones cuadráticas (con exponente 2) son relativamente sencillas de estudiar. Las cúbicas son mucho más complicadas, pero hay ejemplos que tienen infinitas soluciones racionales”, describe Macías.

A partir de ahí, la cosa cambia. Aparecen ecuaciones denominadas de género mayor que 1, que marcan el punto en el que el comportamiento de las ecuaciones diofánticas cambia de forma radical. En los casos más simples (con género 0 o 1), las ecuaciones pueden tener infinitas soluciones racionales. Sin embargo, cuando aparece el género mayor que 1, la complejidad geométrica de la curva impone una rigidez aritmética muy fuerte.

La pregunta de Mordell

En 1922, el matemático británico Louis Mordell se centró en este tipo de ecuaciones diofánticas y conjeturó que el conjunto de sus soluciones racionales es finito. Faltings fue quien, 60 años después, demostró que su intuición era cierta. “Este resultado ha tenido consecuencias muy importantes para el estudio de ecuaciones diofánticas, incluidas las ecuaciones de Fermat”, declara Macías. “De hecho, Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat después del teorema de Faltings. Y Faltings fue una de las personas involucradas en comprobar la demostración obtenida por Wiles”, relata.

La demostración de Faltings sorprendió a los expertos, ya que empleó un enfoque totalmente inesperado. En 1989, otro matemático, Paul Vojta, encontró otra demostración de la conjetura de Mordell, siguiendo las líneas más tradicionales. En 1991, Faltings adaptó este enfoque para demostrar una amplia generalización de la conjetura de Mordell, la llamada conjetura de Mordell-Lang. “A lo largo de su carrera, Faltings ha demostrado conjeturas muy importantes sobre variedades algebraicas que han sido de gran impacto en el campo”, concluye Macías.

Líder de la matemática alemana

Faltings es director emérito del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn. Peter Badge_Typos1_The Abel Prize.

Gerd Faltings (1954, Gelsenkirchen, Alemania) creció en un entorno académico, con ambos progenitores doctores en ciencias. Inicialmente interesado en la física, se acabó decantando por las matemáticas por su carácter absoluto de verdad. Tras doctorarse en la Universidad de Münster (Alemania) bajo la supervisión de Hans Joachim Nastold, trabajó en las universidades de Harvard (EE UU) y Princeton (EE UU).

En 1994, regresó a Alemania como miembro científico del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn. Un año más tarde, se convirtió en director de la institución, hasta 2023, cuando pasó a ser director emérito.

A lo largo de su carrera, Faltings ha recibido numerosos premios y distinciones internacionales, incluidos la Medalla Fields, el Premio Gottfried Wilhelm Leibniz, la Medalla Georg Cantor y el Shaw Prize en Ciencias Matemáticas.