Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (ICMAT-CSIC) y Fan Zheng construyen, por primera vez, soluciones explícitas a las ecuaciones de Euler tridimensionales incompresibles que desarrollan una singularidad en tiempo finito, resolviendo un caso concreto de uno de los problemas abiertos más importantes de la matemática del siglo XXI.
Las ecuaciones de Euler incompresibles describen el movimiento de un fluido perfecto (es decir, sin viscosidad) en tres dimensiones. Formuladas por Leonhard Euler en el siglo XVIII, siguen siendo hoy uno de los objetos más estudiados y menos comprendidos del análisis matemático. La pregunta central es si sus soluciones, partiendo de datos iniciales suaves, pueden desarrollar una singularidad (es decir, si la vorticidad puede hacerse infinita) en tiempo finito o si, por el contrario, permanecen regulares para siempre. Este problema está estrechamente relacionado con el séptimo de los Problemas del Milenio del Clay Mathematics Institute, referido a las ecuaciones de Navier-Stokes. Un trabajo de Diego Córdoba (ICMAT-CSIC), Luis Martínez-Zoroa (ICMAT-CSIC) y Fan Zheng, publicado en Annals of PDE, construye por primera vez soluciones explícitas que desarrollan una singularidad en tiempo finito.
Las ecuaciones de Euler conservan la vorticidad a lo largo de las líneas de flujo, y la posibilidad de que el estiramiento de vórtices amplifique la vorticidad hasta el infinito ha sido el escenario principal de búsqueda de singularidades. Intentos numéricos y analíticos previos habían sugerido la posibilidad de la singularidad, pero ninguno había producido una construcción analíticamente rigurosa y explícita para datos iniciales en espacios de funciones de alta regularidad. Los únicos resultados de singularidad disponibles hasta la fecha se referían a datos iniciales de baja regularidad o a modelos simplificados de las ecuaciones.
El trabajo de Córdoba, Martínez-Zoroa y Zheng supera estos obstáculos mediante una construcción explícita y cuidadosamente controlada. Los autores diseñan datos iniciales con una simetría especial que simplifica la estructura geométrica del problema sin reducirlo a un modelo unidimensional, manteniendo así toda la dificultad de las ecuaciones tridimensionales. A partir de esto, demuestran mediante estimaciones precisas que la solución correspondiente desarrolla una singularidad en un tiempo finito (denominado T*) que puede determinarse cuantitativamente.
La clave técnica del resultado es el control simultáneo de varios mecanismos que compiten: el estiramiento de vórtices, para amplificar la vorticidad, y los efectos de transporte, que la redistribuyen en el espacio. Los autores construyen un perfil de flujo en el que el estiramiento domina de manera cuantificable, y utilizan desigualdades de energía refinadas y estimaciones para probar que la solución no puede regularizarse antes del tiempo T*. Este enfoque, totalmente riguroso desde el punto de vista analítico, combina ideas de la geometría diferencial de las líneas de vorticidad con técnicas de análisis armónico moderno.
El resultado tiene importantes consecuencias. Por un lado, confirma que las ecuaciones de Euler tridimensionales son capaces de producir singularidades a partir de datos iniciales suaves, al menos en la clase geométrica considerada. Por otro, proporciona un mecanismo explícito de singularidad que puede servir de guía para el estudio del problema de regularidad global de Navier-Stokes, donde la viscosidad actúa como un factor disipativo que podría (o no) evitar la formación de singularidades.
Referencia
Córdoba, D., Martínez-Zoroa, L., Zheng, F., Finite Time Singularities to the 3D Incompressible Euler Equations for Solutions in C^∞, Annals of PDE 11, 19 (2025), https://doi.org/10.1007/s40818-025-00214-2.