Filippo Bracci imparte un coloquio especial en el ICMAT

Filippo Bracci, full professor en geometría en la Universidad de Roma Tor Vergata, es uno de los cinco investigadores que forman parte del programa de Profesores Distinguidos del proyecto de excelencia Severo Ochoa del ICMAT (2020-2023). Este miércoles, 15 de febrero, impartirá en el Instituto un coloquio especial sobre la teoría de la hiperbolicidad de Gromov en análisis complejo. Será a las 12:00 en el Aula Naranja.

Laura M. Iraola (ICMAT)

Filippo Bracci imparte un coloquio especial en el ICMAT este miércoles, 15 de febrero.

Su coloquio, titulado “Gromov hyperbolicity theory in complex analysis and semigroup-fication of univalent self-maps of the unit disc”, tratará sobre la teoría de la hiperbolicidad de Gromov en análisis complejo. ¿Podría explicar en qué consiste esta teoría?

La teoría de la hiperbolicidad de Gromov estudia espacios métricos con triángulos geodésicos finos. De manera general, un espacio métrico es un lugar donde es posible medir la distancia entre objetos o puntos en el ambiente. Un ejemplo de espacio métrico es el espacio tridimensional con métrica euclidiana, es decir, donde la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une. La Tierra, con la distancia esférica, es otro ejemplo de espacio de este tipo. La diferencia entre ellos es que el primero es plano y el segundo tiene una curvatura positiva constante. Hay ejemplos también de espacios métricos con curvatura negativa, o lo que es lo mismo, que no pueden ser encajados en el espacio tridimensional. A estos últimos se les llama espacios hiperbólicos. El ejemplo principal es el disco de radio uno en el plano. Allí se puede construir una métrica (la llamada métrica de Poincaré), por la cual el círculo queda a una distancia infinita de cualquier punto dentro del disco -Escher, por ejemplo, tiene dibujos en los que se puede ver muy bien representaciones de esta geometría-. Tal geometría es muy diferente de la del espacio euclidiano o de la esfera, y es un ejemplo del espacio hiperbólico de Gromov.

¿Cómo se aplica esta teoría al análisis complejo?

La teoría de la hiperbolicidad de Gromov se ha utilizado para estudiar varios problemas matemáticos, en particular, de grupos y grafos, que son objetos que a menudo surgen de la modelización de problemas de la vida real. Desde el año 2000, a partir de un artículo publicado por Zoltán M. Balogh (Universität Bern, Suiza) y Mario Bonk (University of Michigan, Ann Arbor, EE. UU.), la comunidad matemática se interesó por la teoría de Gromov en el análisis complejo de varias variables. El análisis complejo estudia las conocidas como funciones holomorfas, es decir, aquellas funciones de números complejos que mandan círculos infinitesimales a círculos infinitesimales. Estas funciones han adquirido una enorme importancia en los últimos años. Solo por nombrar un ejemplo, utilizando las llamadas ecuaciones de Loewner y Schramm-Loewner, se puede estudiar la manera en la que se deja caer un fluido sobre una superficie o el crecimiento de las hojas de las plantas. 

¿Puede mencionar alguno de los resultados más importantes dentro de este campo?

Uno de los resultados fundamentales es el llamado teorema de uniformización de Riemann, que afirma que, siempre que uno tenga un conjunto abierto que no contenga ningún agujero, entonces existe una función holomorfa invertible desde el disco unitario hasta dicho conjunto. Por lo tanto, se puede definir un espacio métrico (hiperbólico de Gromov) en ese conjunto transfiriendo la geometría del disco unitario mediante esa función holomorfa. La interacción entre las propiedades geométricas del dominio y las propiedades analíticas de la función son uno de los principales objetos de estudio desde hace siglos (las técnicas más antiguas son la teoría de Carathéodory, la teoría de la medida armónica, la teoría de funciones geométricas y, más recientemente, la teoría de Gromov).

¿Cuáles son los principales retos?

Hay varias preguntas abiertas, que están relacionadas con varios campos. Solo por nombrar algunos: la conjetura MLC, que establece que la frontera del conjunto de Mandelbrot es localmente conexa, es decir, uno puede moverse de un punto a otro en la de manera continua. Esto equivale esencialmente a comprender el comportamiento en el límite de la función de Riemann correspondiente. También, el problema de los subespacios mínimos invariantes en el espacio de Hilbert o el problema general de comprender si las aplicaciones holomorfas invertibles se extienden a la frontera, y en qué medida, dependiendo de las propiedades geométricas de los dominios. Asimismo, este problema está relacionado con problemas de física teórica, como la existencia de ciertas métricas especiales llamada Kähler-Einstein, las cuales, para dominios acotados, están relacionadas con el comportamiento de las geodésicas para métricas hiperbólicas.

¿Cuáles han sido sus contribuciones dentro de esta área? 

En los últimos cinco años, mis colaboradores y yo hemos usado la teoría de Gromov para abordar ciertos problemas del análisis complejo. Por ejemplo, he demostrado, junto con Hervé Gaussier, que cualquier aplicación holomorfa invertible de una bola a un conjunto convexo, se extiende de manera continua hasta la frontera de la bola. La técnica que utilizamos fue el llamado lema de sombreado, que permite asegurar que, dado un camino que sea ‘casi’ el más corto entre dos puntos, a una distancia finita existe un camino cuya longitud es la distancia entre los puntos. Como las geodésicas son muy complicadas de entender para los espacios hiperbólicos, la posibilidad de reemplazarlas por ‘cuasi-geodésicas’, que pueden ser detectadas con mayor facilidad, permitió probar dicho teorema de extensión. En general, el problema de la extensión hasta el límite de las aplicaciones holomorfas es muy complicado y merecería una mayor atención.

¿Qué otros campos de investigación le interesan?

He trabajado en diferentes problemas dentro del análisis complejo, en una y varias variables. Sobre todo, he hecho contribuciones en dinámica holomorfa local en varias variables, teoría de iteraciones, semigrupos de aplicaciones holomorfas y comportamiento de frontera de funciones holomorfas y teoría pluripotencial. También, he introducido, junto con colaboradores, una noción general de las ecuaciones de Loewner, para una y varias variables. En los últimos años, además, he comenzado a estudiar y aplicar la teoría de la hiperbolicidad de Gromov a los espacios hiperbólicos de Kobayashi. Ahora mismo, estoy estudiando algunos problemas de dinámica en espacios complejos.

Es uno de los profesores distinguidos del proyecto Severo Ochoa del ICMAT y, por ello, está actualmente visitando el centro, ¿cómo es su colaboración con el Instituto y sus miembros?

Llevo una semana en el ICMAT y todo ha ido muy bien, es un ambiente perfecto para trabajar. Aquí, estoy colaborando, principalmente, con Eva Gallardo Gutiérrez (ICMAT-UCM). Nuestro objetivo, de momento, es estudiar algunas cuestiones que residen en la interfaz entre la teoría de operadores en espacios de funciones y la dinámica holomorfa. Acabamos de comenzar con un nuevo proyecto que nos llevará tiempo, pero estamos contentos con lo que hemos conseguido en solo una semana.

 

Más información:

Web Filippo Bracci

Coloquio especial ICMAT: “Gromov hyperbolicity theory in complex analysis and semigroup-fication of univalent self-maps of the unit disc”