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Cuantos puntos del retículo caen dentro de un círculo o calcular los estados de un sistema cuántico

 

Los problemas de teoría de números, en muchas ocasiones, tienen que ver con contar elementos. En eso consisten los números, esencialmente, en contar. ¿Cuántos números pares cumplen la propiedad de que pueden ser escritos como suma de dos primos? ¿Infinitos? ¿Cuántos números enteros positivos n cumplen la igualdad a^n+ b^n= c^n, para ciertos números positivos a, b y c? ¿Solo dos, 1 y 2? Si dibujamos sobre un eje de coordenadas los puntos del plano que tienen como coordenadas números enteros, y dibujamos un círculo con el centro en el origen, ¿cuántos puntos caen dentro? Esta última pregunta se engloba en la teoría geométrica de números, que trata de contar el número de elementos de cierto tipo que hay en una región determinada. Por ejemplo, si tienes unas naranjas apiladas en forma de pirámide triangular, ¿puedes saber, contando las que hay fuera, cuántas habrá en total? Si hay n naranjas en cada uno de los bordes de la pirámide, la respuesta es [n x (n+1) x (n+2)]/6. 
 
Dentro de este tipo de preguntas hay algunas que tienen más popularidad que otras. Si consideramos las medallas Fields no solo como una distinción del genio de los investigadores que las obtienen, sino también un indicativo de los temas que la comunidad matemática considera más interesantes, los "lattice point problems" (problemas de puntos de retículo, en español, variaciones del problema del círculo), son un hot topic. Manjul Bhargava (1974, Canadá) ganó la medalla Fields por un resultado de este tipo. 
 
El número de puntos dentro del círculo es, más o menos, el área de la forma circular. El número de naranjas en la pirámide es más o menos el volumen de la pirámide. Es un principio general de la geometría de los números: en n dimensiones, el número de puntos de una cuadrícula que quedan dentro de una región es, aproximadamente, el n-volumen de la región. Este es uno de los temas clásicos de la Teoría de Números, propuesto por Gauss. “Es una cuestión muy básica, quizás no es tan conocida como la Hipótesis de Riemann, pero cuya dificultad no es menor”, señala Antonio Córdoba, director del ICMAT. 
 
El problema puede pasarse del plano al espacio, escalando una dimensión de R² a R³, como también ya hizo Gauss. Allí la cuadrícula es tridimensional y los objetos encierran volúmenes. En este contexto se engloba el artículo “Lattice points in the 3-dimensional torus”, firmado por Fernando Chamizo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid de investigador del ICMAT, y Dulcinea Raboso, investigadora postdoctoral Severo Ochoa en el ICMAT hasta diciembre de 2015. 
 
Los investigadores tratan el problema para el toro (un sólido con forma de rosquilla) y algunas variantes. “El trabajo de Fernando y Dulcinea permite mejorar resultados anteriores y es un paso más en el esclarecimiento de estos problemas”, afirma Córdoba. El trabajo supone una aproximación y un mejor entendimiento de dónde y cómo surgen las dificultades en este tema.
Poder resolver el problema del círculo supondría no solo un avance significativo en teoría de números, sino también en muchas otras áreas. Otro de los temas con los que se relaciona es con el gran sueño reduccionista de los matemáticos, es decir, el poder escribir en un papel una serie de ecuaciones y, a través de estas, predecir cómo funciona el mundo. En concreto, Charlie Fefferman (Universidad de Princeton), Antonio Córdoba y Luis Seco (Universidad de Tronorno) trabajaron en el cálculo de la energía de un átomo a partir de su número atómico, conectándolo con el problema del círculo. “Completar ese programa supondría un paso definitivo para reducir la química a matemáticas, demostrando desde los principios las propiedades de la tabla periódica”, aventura Córdoba.
 
Referencia: 
 
Fernando Chamizo Y Dulcinea Raboso. "Lattice points in the 3-dimensional torus”, Journal of Mathematical Analysis and Applications
Volume 429, Issue 2, Pages 733–743. 15 de septiember 2015,