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Long term dynamics for the restricted N-body problem with mean motion resonances and crossing singularities

Título: Long term dynamics for the restricted N-body problem with mean motion resonances and crossing singularities.

Autores: Stefano Marò (ICMAT) and Giovanni Federico Gronchi (Università di Pisa).

Fuente: SIAM Journal on applied dynamical systems SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 17(2), 1786–1815.

Fecha publicación (online): 19 June 2018.

Link: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/17M1155703

 

Abstract: La mecánica celeste se ocupa de estudiar el movimiento de los cuerpos celestes bajo la acción de fuerzas gravitatorias. A pesar de tener una clara connotación físico-astronómica, esta disciplina guarda una fuerte relación con las matemáticas. Por un lado, la mecánica celeste usa el formalismo y las ideas de las matemáticas y, al contrario, resulta ser una fuente inagotable de inspiración para esa disciplina.

De esta manera, Gauss usó con éxito por primera vez el método de los mínimos cuadrados para determinar la órbita del primer asteroide (Ceres); y el problema restringido de los tres cuerpos llevó Poincaré a sentar las bases para la moderna teoría del caos.

Para describir el movimiento de los astros se emplean ecuaciones diferenciales. En concreto, ecuaciones diferenciales con una estructura hamiltoniana. El estudio de dichos sistemas es un tema clásico de la matemática aplicada, y la mecánica celeste hace gran uso de estas técnicas. Por ejemplo, mediante la teoría de perturbaciones ha sido posible encontrar sistemas simples que aproximan bien lo que se observa en el cielo. Además, los resultados de las integraciones numéricas de las ecuaciones pueden ser interpretados con más profundidad a la luz de la teoría de sistemas hamiltonianos.

Uno de los problemas de mayor importancia en la mecánica celeste actual es el estudio de la dinámica de los asteroides. La mayoría de estos pequeños cuerpos celestes del sistema solar dibujan órbitas elípticas confinadas entre las trayectorias de Marte y Júpiter, constituyendo el llamado cinturón principal. Sin embargo, las perturbaciones debidas a la influencia gravitatoria de los planetas, sobre todo de Júpiter, han provocado que una fracción no despreciable de los asteroides haya abandonado el cinturón principal, y estén ahora mismo en una órbita cercana a la Tierra. Estos asteroides se conocen como Near Earth Asteroids (NEA).

Desde un punto de vista matemático, el movimiento de un asteroide se modeliza como un problema restringido de N cuerpos: la dinámica del asteroide viene dada por la influencia gravitatoria ejercitada por el Sol y los Planetas. Elcorrespondiente sistema de ecuaciones diferenciales entra en el marco de los sistemas hamiltonianos casi-integrable con tres grados de libertad no autónomo, siendo la posición de los planetas una función conocida del tiempo. La influencia de los planetas constituye una pequeña perturbación de la dinámica dada por la influencia gravitatoria del Sol. Y este último sistema (Sol-asteroide) sigue el modelo de Kepler: el asteroide traza una trayectoria elíptica con el Sol en uno de los focos y la ley horaria es dada por la ecuación de Kepler.

La posición del asteroide y de los planetas en un sistema heliocéntrico se describen con seis coordenadas, que se dividen en dos grupos: cinco coordenadas geométricas que describen las trayectorias en cada instante, y una sexta que determina la posición a lo largo de la trayectoria. En el problema de Kepler, las cinco variables geométricas quedan constantes, ya que la órbita elíptica no se modifica. Pero si se considera también la influencia de los planetas, estas variables dejan de ser constantes, aunque evolucionan muy lentamente (en tiempos mucho más largos que la evolución de la sexta coordenada).

Por esta razón las variables geométricas son conocidas como lentas y la sexta se conoce como rápida. La estructura hamiltoniana del problema está entonces compuesta por dos partes: una parte principal, correspondiente al problema de Kepler y dependiente solo de las variables lentas; y un resto proporcional a un pequeño parámetro, correspondiente a las perturbaciones de los planetas y que contiene la dependencias de las coordenadas rápidas el asteroide y de los planetas.

Desde un punto de vista intuitivo, esta descripción en coordenadas muestra que el asteroide se mueve a lo largo de una elipse, que se deforma muy lentamente. Este es el mecanismo mediante el cual los asteroides pueden abandonar el cinturón principal y acercarse a la Tierra, a medida que su trayectoria se va modificando.

Resulta entonces interesante estudiar la evolución de la trayectoria del asteroide, olvidando la posición a lo largo de la misma. Las ecuaciones que describen las coordenadas lentas se deducen mediante la teoría de perturbaciones hamiltoniana. La idea es eliminar las coordenadas rápidas (tanto del asteroide como de los planetas) de la expresión de la hamiltoniana mediante un promedio. A nivel muy intuitivo, estamos considerando un sistema en el cual el asteroide y los planetas están esparcidos a lo largo de sus trayectorias.

Formalmente esto se obtiene mediante un cambio de variable canónico. El resultado es una nueva hamiltoniana compuesta por tres partes: la parte principal, un primer resto proporcional al pequeño parámetro y un segundo resto proporcional al cuadrado del pequeño parámetro. El efecto del cambiamiento de variable es el haber movido la dependencia de la variable rápida del primer resto al segundo. La hamiltoniana buscada se encuentra despreciando el segundo resto y suele llevar el nombre de forma normal.Llevar a cabo este plan es más complicado si hay proporcionalidad entre el periodo de revolución del asteroide y de un planeta. En este caso se habla de que hay resonancia en moto medio. Sin embargo, es posible obtener una forma normal que se conoce como forma normal resonante.

En ambos casos, con y sin resonancias, hay teoremas que aseguran que la evolución según la forma normal es una buena aproximación de la evolución real. Para más información sobre estos temas se puede consultar la siguiente referencia: Morbidelli A., Modern celestial mechanics, Taylor & Francis, 2002.

Estos teoremas son válidos mientras que no haya singularidades que corresponden con intersecciones entre las trayectorias del asteroide y de un planeta. En este caso, la hamiltoniana de la forma normal no es diferenciable así que el campo vectorial correspondiente no es continuo y no es posible definir una solución en sentido clásico. Sin embargo, los asteroides cercanos a la Tierra presentan frecuentemente intersecciones entre las trayectorias. Esto hace en principio imposible un estudio de la dinámica mediante la forma normal.

Una posible solución se ha dado en los últimos años en el caso sin resonancia (Gronchi, G.F., Tardioli, C: Secular evolution of theorbit distance in thedouble average drestricted three-body problem with crossing singularities, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 18 (2013), 1323-1344). Se ha mostrado que es posible definir una solución generalizada que pase a través de las singularidades. Estas soluciones no son regulares respecto al tiempo en el momento de la intersección, sin embargo se puede mostrar que son Lipschitz-continuas. Además, experimentos numéricos sugieren que puedan ser una buena aproximación de la evolución real de las variables lentas.

Recientemente, Stefano Marò (ICMAT) y Giovanni Federico Gronchi (Università di Pisa) ha extendido esta teoría al caso con resonancia, teniendo en cuenta las substanciales diferencias que presenta. Por ejemplo, si se supone una resonancia con Júpiter, hay que distinguir si la órbita del asteroide interseca la órbita de Júpiter mismo o de un otro planeta (por ejemplo la Tierra). También en este caso, experimentos numéricos sugieren que la solución generalizada es una buena aproximación de la evolución real de las variables lentas. Una demostración formal de estos hechos es un reto para el futuro.