Lorentzian Einstein metrics with prescribed conformal infinity

Título: “Lorentzian Einstein metrics with prescribed conformal infinity”

Autores: Alberto Enciso (ICMAT-CSIC) y Niky Kamran

Fuente: Journal of Differential Geometry 112 (2019), 505554

Fecha de publicación: 2019

Link: https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1563242472

 

Un tema de gran actualidad en la teoría de la relatividad general es el análisis de espacios-tiempos asintóticamente antide Sitter (AdS), a raíz de su papel en la dualidad AdS/CFT propuesta por Juan Maldacena. El interés matemático se centra en estudiar la estabilidad o inestabilidad de este espacio bajo perturbaciones pequeñas, en el contexto de las ecuaciones de Einstein. La teoría de existencia y unicidad establecida por Yvonne Choquet-Bruhat y Robert Geroch no se aplica a estos espaciostiempos, los cuales satisfacen las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica negativa. Esto se debe a que en las coordenadas (llamadas “de onda’’) en las que se puede probar la existencia local de soluciones, una métrica de tipo AdS diverge de forma crítica: como el cuadrado inverso de la distancia a la frontera conforme del espacio-tiempo. Esta singularidad es demasiado fuerte para incluirla en ningún espacio funcional estándar en el que establecer la existencia local de soluciones. Según estableció Helmut Friedrich, en dimensión cuatro, cuando los datos de Cauchy (que han de satisfacer las llamadas ecuaciones de ligadura) y de contorno cumplen una condición técnica adicional –que de forma general no se satisface–, las ecuaciones de Einstein con datos hiperboloidales (es decir, de tipo AdS) están bien planteadas. En 1998 Edward Witten, basándose en los resultados clásicos de Robin Graham y Jack Lee en signatura riemanniana, apuntó que esto debería suceder en general. Esto se conoce como el principio holográfico para las ecuaciones de Einstein.

En este artículo, Alberto Enciso y Niky Kamran demuestran que, efectivamente, el principio holográfico es válido en general para las ecuaciones de Einstein con datos de tipo AdS suficientemente regulares, sin hipótesis adicionales y en cualquier dimensión. Su enfoque para abordar la existencia local, completamente diferente de los métodos de geometría conforme empleados por Friedrich, es puramente analítico. Se basa en tres principios: el uso sistemático de estimaciones con pesos singulares y derivadas con twist; el desarrollo de escalas de espacios funcionales, intrínsecamente vectoriales y en base a una regularidad polihomogénea, adaptados a la geometría en infinito de AdS; y construir un cálculo simbólico de peeling, es decir, un procedimiento parcialmente algebraico que permite estudiar aproximadamente la evolución de métricas asintóticamente AdS en infinito, generando tan solo errores suaves.

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