Sobre el problema de Muskat estable en H2/3

Autores: Diego Córdoba (ICMAT-CSIC) and Omar Lazar

Fuente: Annales scientifiques de L’ Ecole normale supérieure

Fecha de publicación: 2021

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Resumen:

El problema de Muskat modela el movimiento de una interfaz que separa dos fluidos incompresibles en un medio poroso. Supongamos que ambos fluidos son inmiscibles. La condición de no mezcla permite considerar la interfaz entre estos dos fluidos. La ley de Darcy, junto con la conservación de la masa y la incompresibilidad de los fluidos es el llamado sistema de medios porosos incompresibles (sistema IPM).

Para el problema de Muskat, el sistema IPM se puede reescribir en términos de la dinámica de la interfaz entre ambos fluidos utilizando la teoría potencial estándar y esto conduce a la ecuación de evolución de la interfaz (ecuación de Muskat). Recientemente, se ha demostrado que algunas soluciones pueden pasar del régimen estable al inestable y regresar al régimen estable antes de que la solución falle. Este fenómeno de cambio de estabilidad ilustra la imprevisibilidad de las soluciones a la ecuación de Muskat incluso comenzando en el régimen estable. Además, existe evidencia numérica de datos iniciales cuya pendiente es 50 que desarrolla una pendiente infinita en un tiempo finito.

En este artículo, los autores desarrollan la teoría crítica H2/3 bajo un supuesto de pendiente acotada arbitraria. El enfoque es completamente nuevo y se basa en una reformulación de la ecuación habitual de Muskat. Esta nueva formulación permite aprovechar las oscilaciones que son cruciales en este problema. Hay muchas formas de medir la suavidad mientras se intenta hacer estimaciones a priori en espacios críticos. A diferencia de (casi) todos los trabajos anteriores en la ecuación de Muskat, nunca dividiremos el estudio en frecuencias altas/bajas o incrementos pequeños/grandes en el operador de diferencias finitas. Por el contrario, consideraremos la interacción entre ambos y las técnicas de los espacios de Besov serán la principal herramienta para lograrlo. Cabe decir que la nueva formulación del problema resulta crucial para demostrar los principales teoremas de este trabajo, ya que otorga características nuevas que son muy difíciles de ver en la formulación original.

Este artículo es un paso significativo en la comprensión de la teoría de la buena posición global de grandes soluciones en el espacio de Lipschitz. De hecho, el principal resultado de este artículo es la buena posición global de la solución fuerte en H5/2 ∩ H3/2 bajo una suposición de pequeñez sobre la norma de los datos iniciales. No sería posible probar un resultado global para todos los datos en el espacio de Lipschitz ya que se ha demostrado que existen soluciones con datos iniciales con pendientes (relativamente) altas que se vuelven singulares en tiempo finito mostrando la inestabilidad del problema de Cauchy asociado a datos iniciales en espacios críticos.