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Coloquio UAM-ICMAT: Mihai Putinar

 

Mihai Putinar (Universidad de California de Santa Barbara, EE UU; Universidad de Newcastle, Reino Unido) será el invitado del próximo coloquio UAM-ICMAT, que tendrá lugar el jueves 23 de junio a las 12 horas en el aula 520 del Departamento de Matemáticas de la UAM. El matemático de origen rumano impartirá la conferencia “Hermitian sums of squares”, tema en el que es considerado un experto mundial.

Bajo el título “Hermitian sums of squares”, el matemático Mihai Putinar impartirá una charla en el marco de los coloquios UAM-ICMAT. Tendrá lugar el próximo jueves 23 de junio en el aula 520 del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) a las 12:00 horas. En ella, compartirá con los asistentes las claves del Putinar’s Positivstellensatz, un importante resultado para la teoría moderna de la optimización.

Mihai Putinar es profesor de matemáticas en la Universidad de California (Santa Bárbara) y en la Universidad de Newcastle, en Reino Unido. De origen rumano y nativo de Transilvania, Putinar estudió en la Universidad de Bucarest (Rumanía). Durante diez años, de 1980 a 1990, perteneció a lo que hoy se denomina el Instituto Matemático de la Academia Rumana. Sus intereses matemáticos abarcan una variedad de temas y disciplinas, desde la teoría de operadores, teoría de funcional en varias variables y geometría analítica compleja, hasta la teoría de aproximación y el álgebra real.

El ponente es autor de cerca de 200 artículos de investigación y ha escrito y editado una docena de libros. Además, ha organizado numerosos encuentros matemáticos y ha sido investigador visitante en más de una docena de instituciones de toda Europa, lugares en los que disfruta compartiendo sus ideas. También ha colaborado con alrededor de cien investigadores, entre los que se encuentra el anfitrión del coloquio, Dmitri Yakubovich Lazarev, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

Sumas hermíticas de cuadrados

El origen de las llamadas formas hermíticas se remonta a una cuestión algebraica básica: contar y separar las raíces de un polinomio. En un intento de demostrar alternativamente este criterio de recuento, el matemático francés Charles Hermite (1822-1901) descubrió la magia de estas aplicaciones: formas sesquilineales definidas en el cuerpo de los complejos, estrechamente relacionadas con las técnicas algebraicas sobre los números reales de los matemáticos Sturm and Sylvester, ya existentes.  A un matemático, un físico o un ingeniero, las formas hermíticas le son familiares en el contexto de espacios de Hilbert, la geometría diferencial compleja y la teoría de representaciones de grupos, entre otras construcciones matemáticas.

Una forma hermítica positiva se representa como suma de cuadrados. Esto tiene una implicación inmediata: la descomposición espectral de una matriz hermítica positiva. Una interesante observación de los investigadores F. Riesz y Fejer puso la descomposición en sumas de cuadrados de un polinomio positivo trigonométrico en el centro de la prueba de un teorema espectral para formas hermíticas con infinitas variables.

Hace casi medio siglo, el medallista Fields Daniel Quillen probó que cualquier polinomio en la esfera en el espacio hermítico es una suma de cuadrados. Su observación está en línea con la famosa teoría de la completitud de los cuerpos reales cerrados de Tarski. En sus propias palabras: “las afirmaciones algebraicas y geométricas elementales son decidibles”. Es decir, que todas las desigualdades polinomiales definidas en el campo real se reducen a cálculos completando cuadrados.

El tema principal del coloquio es la implementación del Tarski’s Ansatz, tomando el fenómeno Quillen como guía. La conclusión es que la esfera es la única variedad en la que un polinomio es positivo si y sólo si se representa como suma de cuadrados hermíticos.

La búsqueda de certificados de positivividad para clases especiales de funciones tiene un alto interés hoy en día para la optimización global y tiene diversas aplicaciones en la vida real. Los resultados que se van a exponer en la charla tienen aplicaciones a las variedades de Cauchy-Riemann, a la cuantización y a la Teoría de Operadores.

Uno de los principales retos en esta área consiste en encontrar buenas cotas para los grados y el número de términos en las respectivas sumas de los cuadrados y desarrollar nuevos algoritmos eficaces.

Colloquium UAM-ICMAT: “Hermitian sums of squares”

Mihai Putinar (Universidad de California de Santa Barbara, EE UU, y Universidad de Newcastle, Reino Unido)Jueves 23 de junio, 12:00. Dpto. Matemáticas UAM, aula 520

Coloquios UAM-ICMAT

Estos coloquios son organizados mensualmente por la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas, ICMAT. Muestran, de forma amena y no especializada, resultados recientes de investigación. El objetivo es poner al día a matemáticos de diferentes campos del avance de otras ramas de la disciplina. Los conferenciantes, matemáticos internacionales, son seleccionados por miembros del ICMAT y la UAM.

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Mihai Putinar es investigador en la Universidad de California de Santa Barbara, EE UU, y en la Universidad de Newcastle, Reino Unido.

Daniel Estévez es estudiante de doctorado en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del ICMAT.

Dmitry Yabukovich es profesor titular de la UAM y miembro del ICMAT.

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Nota en inglés redactada por Mihai Putinar:

*Sums of Hermitian Squares*

Colloquium by Mihai Putinar, June 23, 2016, Madrid

The origin of hermitian forms go back to the purely algebraic question of counting and separating roots of polynomials. In an inspired attempt to provide alternative proofs of such counting criteria, Hermite discovered the magic of sesquilinear forms over the complex field, very much in harmony with the existing real algebraic techniques of Sturm and Sylvester.

Today we take for granted the basic features of *hermitian* forms, for instance as they offer the background of Hilbert space structure, complex differential geometry or group representations.

The positivity of a hermitian form is usually cast into its sums of squares representation with an immediate implication: the spectral decomposition of a positive *hermitian* matrix. A profound observation of F. Riesz and Fejer puts the sum of squares decomposition of a positive trigonometric polynomial at the heart of the spectral theorem for infinite hermitian forms.

About half a century ago Quillen proved that any polynomial on the sphere in *hermitian *space is a sum of squares. His observation resonates with Tarski’s famous completeness of real closed fields theory. In plain language, Tarski liked to formulate his theorem as follows: “elementary algebra and geometry statements are decidable”. Roughly speaking this translates that all polynomial inequalities over the real field boil down to completion of squares manipulations.

The talk is about implementing Tarski’s Ansatz, with Quillen phenomenon as a solid guide, on real algebraic varieties in hermitian space. The conclusion being that, modulo natural changes of coordinates and embeddings, the sphere is the only variety on which positivity of a polynomial is equivalent to a sum of hermitian squares.

The topics of finding positivity certificates for special classes of functions is of high interest today for global optimization and has already entered into an array of real life applications. On the theoretical side, the main results touched in the talk have an impact on the classification of Cauchy-Riemann manifolds and, via quantization, on multivariate operator theory.

One of the main challenges for the near future investigations in this field is to find sharp bounds for the degrees and number of terms in the respective sums of squares, and also to derive effective algorithmic techniques.

The speaker, Mihai Putinar, is professor of mathematics at the University of California at Santa Barbara and at Newcastle University in UK. He is of Romanian origin, native of Transylvania, educated at the University of Bucharest, and with a stage of ten years (1980-1990) at the nowadays Mathematical Institute of the Romanian Academy. His mathematical interests cover a variety of topics from operator theory, function theory of several variables and complex analytic geometry to approximation theory and real algebra. He is the author of nearly 200 research articles and has written or edited a dozen books. The speaker has organized numerous mathematical meetings, held visiting positions at more than a dozen institutions, on all continents and likes to share his ideas. He has collaborated with nearly a hundred scientists. Related to the present lecture, Putinar’s Positivstellensatz is a widely circulated, key result in modern optimization theory

 

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