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La importancia de llamarse Ernesto

Los investigadores del ICMAT son solicitados como expertos en matemáticas para comentar temas de la actualidad social, que tienen que ver con su disciplina. Ese fue el caso, en las noticias publicadas sobre la posible inequidad del sistema de repartición de plazas escolares en caso de empate. ¿Qué nos dice la probabilidad, es un sorteo justo? Aunque ya apareció publicado en varios medios, en esta entrada completamos el tema, por si ha quedado alguna duda.

El pasado 5 de mayo aparecía en El Mundo una nota sobre la posible inequidad del sistema utilizado por la Comunidad de Madrid para repartir las plazas escolares, en caso de empate entre varios candidatos. En esta entrada queremos extender y completar lo que allí se dijo. Empecemos por echar un vistazo a la ley. Las  instrucciones del Boletín Oficial de la Comunidad de Madrid en caso de empate son:

Para resolver posibles situaciones de empate que no puedan ser resueltas aplicando los restantes criterios de desempate, cada centro sostenido con fondos públicos deberá determinar mediante sorteo público y en fecha posterior a la finalización del período de presentación de solicitudes de plaza, las cuatro letras que se utilizarán a tal efecto. Con este fin, las solicitudes se ordenarán por orden alfabético ascendente (de la A a la Z) del primer apellido,  comenzando por las dos primeras letras del sorteo. En caso de igualdad del primer apellido, el orden vendrá establecido por la tercera y cuarta letras del sorteo, a partir de las cuales se clasificarán a los alumnos solicitantes por orden alfabético ascendente de su segundo apellido. En caso de coincidencia del segundo apellido o que no exista, se utilizará el nombre.

El tratamiento del problema de desempatar entre varios candidatos con la misma nota y el grado de inequidad de la  estrategia propuesta dependerá de distintos factores, fundamentalmente, del número de candidatos empatados y del número de plazas por las que optan las personas que han empatado.

Por ello, describiremos el problema a través de un ejemplo sencillo y simplificado, que sirve para  ilustrar en esencia la situación, que fue el que usamos para explicar el problema en El Mundo.

Consideramos que hay seis candidatos con la misma nota apellidados: Barceló, Colau, Cristóbal, Barba, Bora y Abad). Los ordenamos alfabéticamente como en la lista: A1 (Abad), B1 (Barba), B2 (Barceló), B3 (Bora), C1 (Colau), C2 (Cristóbal). 

Algunas observaciones relativas a esta simplificación del problema serían:

  • Sólo se utiliza un apellido para establecer el orden alfabético en este caso, por simplicidad, pero el razonamiento es el mismo en el problema general.
  • Los apellidos tienen una letra y un número (el número resume el resto del apellido y sólo indica en qué lugar está entre los apellidos correspondientes).
  • Hay más individuos de algunas letras que de otras (reflejando la distribución de los apellidos en la población: hay más personas que se apellidan García que Insúa).
  • El abecedario del ejemplo tiene 3 letras A, B, C.

La regla de desempate, análoga a la utilizada, pero adaptada a este escenario, consiste en sacar una letra al azar (la probabilidad de sacar la letra A (p(A)) es la misma que la de B y C, es decir, 1/3) y escoger tantos alumnos como plazas haya, empezando por el primero de esa letra. En el ejemplo, si tuviéramos dos plazas, veamos qué casos habría. Si saliera la letra B (1/3) los seleccionados serían B1 y B2. Si saliera A (1/3) saldrían A1 y B1. Si saliera C (1/3), los candidatos escogidos serían C1 y C2. B3 no sacaría plaza nunca, y B1 tendría más probabilidades que el resto en todos los casos.

En general, para que el procedimiento fuese justo, debería ser que todos los candidatos tuvieran la misma probabilidad de salir. En nuestro ejemplo, podemos ver en el siguiente cuadro las probabilidades de salir de cada candidato en función del número de plazas a repartir entre los mismos:

#plazas

A1

B1

B2

B3

C1

C2

1

1/3

1/3

0

0

1/3

0

2

1/3

2/3

1/3

0

1/3

1/3

3

2/3

2/3

2/3

1/3

1/3

1/3

4

2/3

1

2/3

2/3

2/3

1/3

5

2/3

1

1

2/3

1

2/3

6

1

1

1

1

1

1

El único caso justo (y trivial) es aquél en el que hay seis plazas disponibles. En algunos casos, como en el que hemos mencionado antes, algunos candidatos tienen imposible salir.

Para encontrar un mecanismo justo, solo hay que recurrir a generadores de números aleatorios, como sigue. Los centros ordenan arbitrariamente los candidatos empatados, como quieran, y les asignan un número (en nuestro caso de 1  a 6), por ejemplo

A1

B2

C2

C1

B3

B1

1

2

3

4

5

6

 

 

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