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Coloquio Junior de matemáticas (ICMAT-UAM-UC3M-UCM)

Autofunciones de alta energı́a y localización inversa

Ponente:   Alba García (ICMAT)
Fecha:  jueves 17 de febrero de 2022 - 17:00
Lugar:  Aula Naranja, ICMAT
Online:  us06web.zoom.us/j/88307271066?pwd=d3lKYXhqR2JuK3cxQVFQdjk2Snl2QT09 Meeting (ID: 883 0727 1066; Passcode: 336869)

Resumen:

Existe una relación bien conocida entre ondas monocromáticas (esto es, soluciones de la ecuación de Helmholtz ∆v +v = 0) y autofunciones en una variedad riemanniana (M, g), ∆ g u + λ 2 u = 0. Concretamente, el comportamiento local de una sucesión de funciones propias con alta energı́a (λ 2 → ∞) cerca de un máximo define una onda monocromática acotada, tras un reescalado adecuado que depende del autovalor. Por el contrario, el comportamiento local de una solución de Helmholtz se puede realizar por una autofunción aproximada (o casi-modo) asociada a cualquier energı́a suficientemente elevada y en escalas determinadas por esta energı́a.

Un poderoso refinamiento de este último hecho es lo que llamamos principio de localización inversa: si, grosso modo, la degeneración de los autovalores de alta energı́a es lo suficientemente grande, uno puede remplazar las autofunciones aproximadas por autofunciones propiamente dichas. En esta charla conoceremos ciertos contextos especialmente simétricos donde se han probado versiones concretas de este principio: para la ecuación de Schrödinger con el oscilador armónico como potencial (en R^d y, recientemente, H^d (κ)) y para el Laplaciano en la esfera y ciertos toros planos.