PARA PARTICIPANTES 2012

Matemáticas en la naturaleza

“El matemático juega a un juego en el que él mismo inventa las reglas, mientras que el físico juega a un juego en el que las reglas son proporcionadas por la naturaleza; pero a medida que pasa el tiempo se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático encuentra interesantes son las mismas que las que ha escogido la naturaleza”

- Paul Adrien Maurice Dirac, físico teórico inglés

Algunas veces la propia naturaleza inspira a los matemáticos en sus definiciones y desarrollos y guía el desarrollo del lenguaje de las    matemáticas.

Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales fueron inicialmente tratadas por Newton para estudiar el movimiento planetario.

Pero también sucede de manera opuesta: por sorpresa se reconoce en la naturaleza una construcción matemática

Así sucede con sucesión de Fibonacci, o con las simetrías de las plantas.

En este concurso os invitamos a que buscar estas relaciones entre los conceptos matemáticos y los objetos del mundo natural y que, una vez escogido el motivo lo plasméis en un grafiti.

Ejemplos para que te inspires

FRACTALIDAD

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas, hasta el infinito.

La forma más sencilla de entenderlo es con un dibujo:

La idea es que, observando el objeto en cualquier escala, vemos básicamente lo mismo. Como cuando miramos un helecho de cerca: sus ramas parecen de nuevo helechos más pequeños, y las hojas vuelven a reproducir esta estructura.

Fractales naturales

Hay determinados objetos de la naturaleza que se pueden representar (simbólicamente, mediante estructuras geométricas) mediante fractales matemáticos de manera bastante precisa.

Esto sucede, por ejemplo, en la línea de la costa. Si miramos con detalle, podemos ver granitos de arena que se ordenan formado una estructura granulada de entrantes y salientes. Si nos fijamos en la playa, la erosión de las olas produce una estructura similar. Si miramos toda una zona de cosa, cada una de las playas se convierte en un entrante y de manera global se observa la misma estructura.

También las nubes, las montañas, el sistema circulatorio o los copos de nieve son fractales naturales.

Romanescu (Brassica oleracea)

Pese a que parezca una estructura muy complicada, la fractalidad es muy  habitual en la naturaleza. De hecho, resulta muy práctica: repetir la estructura ilimitadamente es una forma muy útil de aumentar la superficie (sin tener que aumentar demasiado el volumen)

Nuestros órganos, como por ejemplo los pulmones, son fractales.

Definición matemática

Esta complejidad no es fácil de delimitar, y tampoco de describir con matemáticas, como sí se puede hacer con las ecuaciones de una figura regular. La verdad es que el concepto de fractal no dispone de una definición matemática precisa y de aceptación general. Varios matemáticos, como B. Mandelbrot o  D. Sullivan intentaron dar una definición pero sus resultados no fueron capaces de plasmar totalmente el resultado.

Ante esta dificultad, los fractales se definen por las propiedades que cumplen. Un objeto geométrico fractal tiene las siguientes características:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

Por ejemplo, un polígono no es un fractal. Es demasiado regular.

• Es autosimilar, es decir, su forma está hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Por ejemplo, esta curva no es un fractal, pues no se repite su estructura a diferentes escalas

Tienen que darse las dos características para que podamos decir que es un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar puede describirse en términos geométricos tradicionales.

SUCESIONES

Una sucesión es una lista ordenada de objetos (términos). A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los elementos es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición.

Ejemplo:

El conjunto A= {a,b, c, d}
Las sucesiones S1= {a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a…} es infinita, ya que tiene infinitos elementos.
                           S2= {a, b, c, d, d, a, d, b, a, a,} es finita, ya que tiene un número d elementos finitos.

En algunos casos este tipo de listas ordenadas aparecen en la naturaleza. Uno de los ejemplos más famosos es el de sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales en la que cada término es la suma de los dos anteriores.

Construyámosla:

Definimos el primer f1= 0 y segundo término f2=1
Aplicamos la fórmula: f3=f1+f2= 1 + 0=1
                                      F4= f2+f3= 1+1= 2
                                      F5= f3+f4= 1+2= 3
….

Así, queda:

F= {0,1,1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89…}

Sucesión en las flores y las abejas

La sucesión tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, pero además aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo y en la flor de la alcachofa.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

También aparece en el mundo animal, por ejemplo, los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Simetría

La simetría es una característica de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales y entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.

Un ejemplo sencillo es la simetría axial, es decir, alrededor de un eje, como el que presenta el cuerpo humano, una hoja, cualquier polígono regular o la imagen a uno y otro lado del espejo.

La simetría se observa en muchos organismos vivos.  De hecho, se puede decir que es una propiedad distintiva de la naturaleza. A simple vista podemos observarla en las flores y en los animales.

También, aunque esta no podamos verla, está presente en fenómenos cuánticos del mundo atómico y subatómico. De hecho, muchos científicos afirman que la física moderna, desde lo más pequeño a lo más grande, es decir, desde los átomos, los quarks o los núcleos, pasando por lo molecular en estado solido, hasta la estructura misma del universo, requiere del concepto de simetría para su comprensión.

Simetría de los seres vivos

En biología la simetría corresponde a una distribución equilibrada en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas.  Por ejemplo, los seres humanos son simétricos respecto a un eje vertical que divide nuestro cuerpo en la dirección de la columna vertebral: tenemos dos brazos, dos piernas, dos ojos, dos orejas… simétricos respecto a esta recta.

Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial (definida por un eje distinto en sus dos extremos) o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

Número áureo

El número áureo o de oro es un número irracional con valor aproximado:

 1,618033988749894848204586834365638117720309...

El número áureo surge como una proporción (una razón o una división de dos cantidades):

Se obtiene al dividir en dos de un segmento ab que cumple las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

Se suele representa con la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias.

Es decir, (a+b):a= a:b

Esta relación se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, por ejemplo en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol y en los flósculos de los girasoles.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

La representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci utiliza el sistema fraccionario propuesto por Vitruvio y no el  número áureo como comúnmente se cree.

Relación con la serie de Fibonacci, con los pentágonos regulares y con las espirales

El número de oro también está relacionado con la serie de Fibonacci, de la que ya hemos hablado. Si consideramos el cociente del enésimo número de Fibonacci (Fn), y el siguiente número de Fibonacci, (Fn + 1), descubrimos que, a medida que n aumenta, este resultado oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea.

Por otro lado, el número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento interseca a otro segmento en una razón áurea. Dentro del pentagrama, sus triángulos y los polígonos inscritos se pueden observar más relaciones áureas.

Además hay espirales que también siguen proporciones áureas.

‘Espiral de Durero’, construcción del pintor renacentista Alberto Durero (1471-1528) en su obra "Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas".

El número áureo en la naturaleza

El número áureo aparece en numerosas propiedades o características de las plantas. El papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig y determina, por ejemplo, la disposición de los pétalos de las flores y la distribución de las hojas en un tallo.

La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles, la relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco y la relación entre las ramas principales y las secundarias también obedecen a la razón aurea.

También se observa en la cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias.

Creación de patrones

Un patrón es un objeto recurrente, como por ejemplo el dibujo de un estampado o un mosaico.

Estos elementos se repiten de una manera predecible. Pueden  generarse a partir de una plantilla o un modelo.

Los patrones más básicos, llamados teselaciones, se basan en la repetición y la periodicidad. Una única plantilla, azulejo o célula, se combina mediante duplicados sin cambios o modificaciones.

Patrones de la naturaleza

En la naturaleza se pueden encontrar diversos paisajes, estructuras y pelajes de animales dispuestos de manera similar a un patrón matemático.

Por ejemplo, las manchas de un leopardo parecen seguir un modelo que define el dibujo, no es una disposición caótica. O también en los movimientos de determinados grupos de animales se pueden observar patrones distinguibles por el ojo humano.

El origen de estos patrones es, en muchos casos, desconocido. Aunque algunas veces tiene una explicación geológica o química, como es el caso de las rayas de los mamíferos.

El genial matemático inglés Alan Turing, padre de la computación moderna, propuso en la década de 1950 una idea sobre la formación de algunos patrones biológicos, como las rayas del tigre o las manchas del leopardo. Según Turing, estas repetición de patrones está generada por un par de unos productos químicos llamados morfógenos que trabajan juntos como un «activador» y un «inhibidor.

Este mismo año 2012 investigadores del King College de Londres han encontrado la primera prueba que confirma la teoría del Turing .

Estos son solo algunos ejemplos de matemáticas en la naturaleza, pero hay muchos más, solo tienes que mirar a tu alrededor y observar la estructura del agua, los remolinos, o la estrellas con una óptica matemática, ¡atrévete a innovar!