IDEAS AVANZADAS

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Qué son los fluidos

Los fluidos son materia en estado líquido, gaseoso y plasma. El agua y la atmósfera son fluidos, sin los cuales no existiría la vida tal y como la conocemos. También son fluidos determinadas partes del interior de la tierra o las nubes de azufre que emite un volcán en erupción.

* La atmósfera terrestre es un fluido. Fotografía tomada desde la Estación Espacial internacional.  

* El magma de los volcanes también es materia fluida.
Autor: Adrien Cretin en Flickr.

Los fluidos están formados por moléculas entre las cuales hay una fuerza de atracción débil, lo que hace que cambien fácilmente de forma, ya que no resisten a esfuerzos cortantes, y no tiendan a recuperar la forma anterior, como sí sucede en los sólidos deformables. La forma de los líquidos la da el recipiente que los aloja, y los gases directamente no tienen forma propia.

* El líquido toma la forma del recipiente que lo aloja.

* Los gases carecen de forma definida. Autor: NDomer73 en Flickr

Estudios de los fluidos

La mecánica es la ciencia que describe el comportamiento de los cuerpos. La mecánica de fluidos es un campo de la física muy amplio que estudia el movimiento y la estructura de los fluidos y las fuerzas que los provocan. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. Las matemáticas son el lenguaje que se emplea para describir estos fenómenos, y el desarrollo y comprensión de las ecuaciones de los fluidos han supuesto el nacimiento de nuevas áreas de las matemáticas.

Ecuaciones de los fluidos

Un fluido es un medio continuo, en el que pensamos como compuesto de partículas puntuales. Cada punto del espacio x, en cada instante de tiempo t, se considera como una partícula fluida, sobre la que se define una velocidad u(x,t), como un vector en el espacio.

La hipótesis del medio continuo

En la mecánica de fluidos se da por válida la Hipótesis del medio continuo, que asegura que cualquier fluido es igual en todo el espacio que ocupa. Es decir, el agua no es más densa en el fondo de la botella que en el cuello. Según esta hipótesis no importa la estructura molecular de la materia y sus discontinuidades. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas, lo cual facilita bastante las cosas.

Observación: el concepto de medio continuo es una abstracción de la naturaleza del fluido y, como tal, trata de servir de modelo para entenderla, pero no es una descripción exacta de la realidad.

Las ecuaciones de los fluidos

Antes de entrar directamente en las ecuaciones, pensemos un poco qué forma tendrán:

- Las ecuaciones de los fluidos son ecuaciones de movimiento que incluyen variaciones en el espacio y en el tiempo, y por lo que son ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Una ecuación diferencial es una ecuación que implica funciones y sus derivadas. Las derivadas nos dicen como cambian las funciones con respecto a las variables).

- Por otro lado, como tenemos varias variables que describen el sistema (velocidad, densidad, presión, temperatura, energía interna…), se tratará de un sistema de varias ecuaciones. Y hay funciones que dependen de varias variables (la temperatura puede depender del lugar y el tiempo, por poner un ejemplo), por tanto obtenemos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, es decir, derivadas con respecto a una de las variables.

Por el tipo de leyes y relaciones que aplicamos para conseguir las ecuaciones, éstas serán no lineales (es decir, la dependencia de las variables no es lineal).

Por tanto, las ecuaciones de los fluidos son sistemas de ecuaciones en derivadas parciales no lineales.
Conocer las soluciones de esta ecuación nos permitirá saber el comportamiento del sistema (el fluido) en un tiempo determinado. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores que deben tomar las letras (las incógnitas) para que las igualdades del sistema sean ciertas.

¿De dónde salen las ecuaciones de los fluidos?

Las ecuaciones se obtienen al aplicar ciertos principios, que sabemos que se cumplen, al volumen fluido. Asumimos que los fluidos verifican las siguientes leyes fundamentales:

- Conservación de la masa. Estamos describiendo un fenómeno de transporte de partículas que ni se crean ni se destruyen. Por tanto, podemos asegurar que la densidad x volumen = constante.

Conservación de la cantidad de movimiento. Esta ley describe la dinámica del medio fluido, y afirma que la variación de la cantidad de movimiento es proporcional a la acción de las fuerzas (en una partícula, la cantidad de movimiento es el producto de su masa por la velocidad).

Aplicando estas dos leyes se obtienen cuatro ecuaciones con cinco variables (la densidad, las tres componentes de la velocidad y la presión). Es por tanto un sistema indeterminado y para resolverlo necesitamos una o varias leyes nuevas, que son las que introducen nuevas variables como la temperatura. Tras ello conseguimos el sistema de ecuaciones de los fluidos reales.

Como se puede observar, la descripción de los fluidos “reales” implica modelos matemáticos muy complicados, que aún hoy, con el desarrollo computacional actual, son difíciles de tratar. Por ello, ya en el s. XVIII, los matemáticos Bernoulli y Euler buscaron maneras de simplificar el problema, asumiendo ciertas condiciones razonables: (1) considerar fluidos incompresibles (que no pueden comprimirse) y (2) considerar fluidos perfectos (sin viscosidad).

(1)Fluidos incompresibles.

Un fluido incompresible es un fluido que tiene la capacidad de oponerse a la compresión y en el que la densidad de sus partículas permanece constante en el tiempo. Esto significa que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar.

El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión.  Los gases, sin embargo, son fluidos compresibles.

* El agua es un fluido casi incompresible ya que tiene la capacidad de oponerse a la compresión. Autor: Downtowngal.

* Los gases, sin embargo, son fluidos compresibles. Autor: தகவலுழவன்

Observación: En realidad todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros, pero, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante, y la ecuación de la conservación de la masa toma entonces una forma particularmente sencilla.

(2)Fluidos ideales.

Euler supuso que los fluidos no resisten esfuerzos cortantes, es decir, al arrastre de las capas continuas (no tienen viscosidad). De esta manera se simplifican las fuerzas de contacto.

La viscosidad es el rozamiento existente entre capas adyacentes. Así, por ejemplo, si arrastramos la superficie de un líquido viscoso con la palma de la mano las capas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que la superficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistencia tangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Igualmente si revolvemos con una cuchara un recipiente grande con agua en el que hemos depositado pequeños trozos de corcho, observaremos que al revolver en el centro también se mueve la periferia y al revolver en la periferia también dan vueltas los trocitos de corcho del centro; de nuevo, las capas cilíndricas de agua se mueven por efecto de la viscosidad, disminuyendo su velocidad a medida que nos alejamos de la cuchara.

Los fluidos sin viscosidad (invíscidos) son los llamados fluidos ideales. La viscosidad es característica de todos los fluidos, tanto líquidos como gases, si bien, en este último caso su efecto suele ser despreciable, están más cerca de ser fluidos ideales.

* La sustancia del fondo tiene una viscosidad más alta que la el líquido claro que está encima. Autor: Anynobody.

(3)Fluidos perfectos.

Son fluidos perfectos los ideales e incompresibles. Las ecuaciones que se obtienen al simplificar las características de en este sentido son las llamadas Ecuaciones de Euler. Fue en 1757 cuando Leonhard Euler formuló por primera vez las ecuaciones que predicen el movimiento de un fluido ideal. Con las condiciones iniciales y de contorno adecuadas puede afirmarse que el sistema tiene una única solución. La existencia y unicidad de una solución clásica global todavía es un problema abierto en tres dimensiones, y es considerado por la comunidad matemática como una cuestión de gran interés.

Sin embargo, la simplificación de los fluidos de Euler conlleva ciertas desventajas. Por ejemplo, no admiten arrastre lateral, y según este modelo, aunque un barco flotaría en agua, los aviones no volarían. Por tanto, fue necesario buscar un modelo de “nivel superior”. Cauchy, Navier y Stokes consideraron fluidos más realistas que sí incluyen los efectos de la viscosidad, aunque se impone la incompresibilidad. De esta manera se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes , que dan el marco teórico completo de la disciplina. Fue en 1822 y 1845, cuando los matemáticos Claude-Louis Navier y Gabriel Stokes perfeccionaron la fórmula de Euler al tener en cuenta el grado de viscosidad de los fluidos a estudiar.

* Busto del Claude Louis Marie Henri Navier en la École Nationale des Ponts et Chaussées.

*Sir George Gabriel Stokes.

A pesar de los años transcurridos desde la enunciación de estas ecuaciones, y de su aplicación diaria en cuestiones como la predicción meteorológica (cómo se mueven las corrientes de aire) o la navegación aeronáutica (cómo fluye el aire por encima del ala de un avión), los matemáticos aún no conocen completamente lo que implican las ecuaciones de Navier-Stokes debido a su complejidad.

Ecuaciones de Navier- Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos “reales” y su profundo entendimiento es uno de los grandes retos matemáticos de este milenio. Conocer sus soluciones permitiría predecir el comportamiento de la atmósfera, de las corrientes oceánicas, del magma terrestre, etc.

* Golfstrom.

* Una imagen de satélite de la costa de California, mostrando la falta de nubes en la zona costera debido al ascenso de aguas frías que corresponden a lo que se llama emersión de aguas profundas por el movimiento de rotación terrestre. Dicha carencia de nubes identifica a esta corriente.

A lo largo de la historia los seres humanos han sido capaces de crear teorías que permiten anticiparse a lo que va a pasar en la naturaleza en el futuro, una vez que se tiene suficiente información sobre el presente: el movimiento de los astros, el lanzamiento de una pelota, el giro de una peonza… La mayoría de estas teorías utilizan las matemáticas como lenguaje. Para hablar de velocidad usamos vectores, para hablar de temperatura, funciones, para la luz, números complejos... Y como herramienta tenemos ecuaciones cuyas soluciones describen lo que depara el futuro. Como ejemplo veamos uno de los casos más simple, mediante las fórmulas del lanzamiento de un proyectil.

* Trayectoria parabólica del agua. El agua de esta fuente recorre una parábola. Autor: GuidoB.

Recordemos brevemente este problema: queremos lanzar una pelota, eligiendo el ángulo de inclinación del lanzamiento y la velocidad de salida. Olvidemos las tres o cuatro fórmulas que se aplican de una u otra manera, siempre que aparecen estos elementos en un enunciado, e imaginemos que es la primera vez que pensamos en el lanzamiento de una pelota, desde cero. Según nuestra experiencia si la lanzamos con cierto ángulo y con cierta velocidad la pelota realiza una trayectoria en el aire. Si la lanzamos de nuevo con el mismo ángulo y con la misma velocidad la trayectoria no cambia. Sin embargo, si modificamos el ángulo o la velocidad, el recorrido sí es diferente. Tras este experimento podríamos preguntarnos: ¿se puede predecir cual va ser la trayectoria de la pelota conocidos el ángulo y la velocidad con la que va a ser lanzada? Hoy, responder a esta cuestión solo nos costaría unas pocas líneas, utilizando las fórmulas que hemos mencionado, pero detrás de ellas hay varios siglos de reflexión acerca del movimiento de los objetos, y de experimentación, ya sea lanzando pelotas, piedras o manzanas u observando el recorrido de los cuerpos celestes.

Vayamos más allá con otras cuestiones que surgen de la propia experiencia cotidiana: ¿podemos describir el movimiento de una peonza?, ¿podemos predecir cómo va a variar la temperatura de una habitación al encender un radiador?, ¿qué sabemos del recorrido de un rayo de luz? y ¿del de una nube? En todas ellas, partiendo de las mismas condiciones iniciales, es decir, mismo ángulo y velocidad, obtenemos el mismo comportamiento. Por lo tanto, si conocemos las condiciones iniciales deberíamos ser capaces de predecir lo que sucederá en el futuro. Bien, pensemos ahora en un río, una masa de agua moviéndose de manera que a cada punto, a cada gota que lo forma, podemos asociarle una velocidad (consideremos que es un vector que indica la rapidez y la dirección con la que se mueve). Si conocemos la velocidad de cada gota en un instante de tiempo, en el presente, ¿podemos decir cual va ser su velocidad en el futuro? O, de manera más general: si conocemos la velocidad inicial de un líquido, ¿podemos predecir su movimiento? Esta pregunta es tremendamente amplia, ya que estamos preguntado acerca de las olas del mar, de la estela que deja un avión, de cómo deslizan las gotas de lluvia sobre un cristal, de cómo se filtra el agua en la tierra, de cómo se vacía una bañera...

* Río St. Francis en el área de Silver Mines del Bosque Nacional Mark Twain en Missouri. Autor: Kbh3rd

Los matemáticos y los físicos han sido capaces de encontrar una ecuación que se puede aplicar a todos estos casos pero es tan complicada que a menudo resulta imposible encontrar sus soluciones y, por lo tanto, leer el futuro en ellas. Hablamos de la ecuación de Navier-Stokes, Y, ¿en qué consisten estas ecuaciones? La base en la que se sustentan es fácil de entender. Como ya hemos visto antes, partimos de leyes físicas: la ley de la conservación de la masa, la segunda ley de Newton (ley de conservación del movimiento) y añadimos una ley de estado que relaciona la presión con la densidad, en el caso compresible, o la condición de divergencia nula en el incompresible.

Estas tres condiciones físicas se pueden traducir a un lenguaje matemático a través de unos objetos que se conocen como ecuaciones en derivadas parciales. Las soluciones de estas ecuaciones  nos dicen cómo varía con el tiempo la densidad, la velocidad y la presión del fluido en cada punto del espacio en el que yace. Su complejidad es tal, que hasta ahora, se tiene muy poca información sobre su comportamiento y su comprensión forma parte de uno de los siete Problemas del Milenio.

La complejidad que entraña interpretar la información codificada en estas soluciones, y la utilidad que tendría el conseguirlo, hacen que se lleve a cabo una intensa investigación en matemáticas en el campo de las ecuaciones de los fluidos. En él, los matemáticos intentan desarrollar técnicas y métodos que nos permitan entender aquello que sabemos que está recogido en las ecuaciones.

Conseguirlo nos permitirá confiar en las predicciones meteorológicas, entender cómo y por qué se forman los huracanes, cómo se mueve un tsunami y  muchas otras aplicaciones a la ingeniería. Pero también sería un logro intelectual enorme por sí mismo. Avanzar en el entendimiento de estas ecuaciones implicaría disponer de unas matemáticas aún más potentes, y esto transciende más allá de los propios  fluidos.

Además, hay que tener en cuenta que las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes representan los casos más básicos que se pueden considerar a la hora de describir el movimiento de un  fluido. Introduciendo nuevos términos se pueden añadir fenómenos termodinámicos, electromagnéticos, viscoelásticos, cuánticos, relativistas..., que harán aparecer un gran abanico de problemas abiertos.

Un problema de un millón de dólares

* La Fundación Clay es una institución privada dedicada a promover la investigación matemática.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son uno de los denominados Problemas del Milenio, siete problemas matemáticos seleccionados en el año 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas por su especial complejidad y cuya resolución será premiada con un millón de dólares. Hasta el momento, solo uno de los siete problemas, la Conjetura de Poincaré, ha sido resuelto.

Con esta selección el Instituto Clay quiso emular un siglo después los Problemas de Hilbert, enunciados por el famoso matemático David Hilbert en 1900 y cuyo tratamiento y resolución dieron un gran impulso a las matemáticas del siglo XX.

* David Hilbert (1862, Königsberg; 1943, Göttingen)

La relevancia de estos problemas viene de todo el desarrollo teórico que tienen detrás. El problema en sí implica la creación de técnicas y procedimientos que suponen un gran avance en sus respectivos campos. Los problemas profundos [los Problemas del Milenio], son como telescopios,  a través de los cuales puedes mirar y ver a lo lejos. Además, en el campo de la matemática pura, en ausencia de problemas prácticos que sirvan para orientarse y dar importancia a unos y otros problemas, los matemáticos tienen que aprender a saber a dónde dirigir su atención, a escoger los problemas.

Desde el Instituto Clay declaran que quisieron “mostrar al público general que la investigación pura en matemática es una ciencia vibrante y apasionante cuyos retos se extienden por los siglos y así hacer que el público en general participara en la intriga de nuestra investigación”. Además, al ofrecer un premio para la resolución de estos problemas, demuestran el valor intrínseco de la investigación pura de una manera que todo el mundo puede entender (un millón de dólares).

Aplicaciones de la Mecánica de Fluidos

Pese a que todavía hay muchas preguntas abiertas, la Mecánica de Fluidos permite comprender el medio continuo y sus ecuaciones sirven para diseñar modelos de sistemas complejos como la atmósfera o el mar. Gracias a estos modelos, cada vez más precisos, es posible:

- Predecir el tiempo atmosférico.

- Comprender la naturaleza de los vientos,

- Entender los movimientos del mar, olas, mareas y corrientes.

* Mapa de isobaras. Autor: Simon Eugster .
Además, el lenguaje matemático permite plantear y resolver los problemas de la hidráulica tradicional: tuberías, canales...

Además, el lenguaje matemático permite plantear y resolver los problemas de la hidráulica tradicional: tuberías, canales...

* Cilindro hidráulico.

Ya desde finales del siglo XIX, la náutica y la naciente aeronáutica fomentan la investigación en el cálculo del vuelo de objetos.

* Aeronatica Caproni di Predappio.

Más recientemente, el gran auge de la ciencia moderna ha motivado descubrimientos y avances, particularmente en el uso de la hidrodinámica computacional para resolver problemas de gran complejidad matemática.

Matemáticas de los fenómenos de la naturaleza

La hidrodinámica es un campo inmenso de interés para los matemáticos, pero también para los físicos, los ingenieros y los meteorólogos. En muchos fenómenos de la naturaleza se han originado modelos o sistemas de ecuaciones, que atañen a los fluidos y que, de alguna manera, se derivan de las leyes fundamentales de los mismos. He aquí una pequeña muestra de fenómenos que se pueden observar a través de la potente lente de las matemáticas:
Frentes de aire frio y aire caliente

De las ecuaciones de Navier-Stokes se deducen ecuaciones que sirven para construir modelos de evolución de los frentes atmosféricos. Son las ecuaciones quasi-geostróficas (Q.G.) derivadas de las anteriores para el caso de un fluido en movimiento de rotación (sobre la superficie de la Tierra), cuando se tienen en cuenta algunas aproximaciones razonables en latitudes medias del efecto de la rotación terrestre y la aceleración de Coriolis.

* Frente frío aproximándose a Cook Strait (Nueva Zelanda). Author: Phillip Capper.

Torbellinos

A menudo los fluidos desarrollan estructuras en forma de torbellinos, también conocidos como vórtices, que son capaces de concentrar una gran cantidad de energía en una región pequeña del espacio, y que poseen una gran capacidad destructiva. Estos vórtices pueden subsistir por largos períodos de tiempo y desplazarse en el espacio, como hacen los huracanes y los tornados. Estudiar la evolución de estas soluciones de las ecuaciones de los fluidos y demostrar matemáticamente sus propiedades es una tarea muy interesante.

* Huracán Irene.

* Tornado en Oklahoma City  (EE. UU.)

Gotas

¿Por qué son las gotas esféricas? La razón está en la tendencia de su superficie a ocupar la mínima área posible, y da lugar a fenómenos muy interesantes de cambio de forma. Un ejemplo es un chorro de agua que rompe en un conjunto de puntos desconectados entre sí, dando lugar a gotas. Pero también resulta interesante el fenómeno contrario (por ejemplo, el chapapote), cuando un líquido viscoso dentro de otro que lo sea menos, puede desarrollar filamentos que llegan casi al tamaño molecular.

* Gota de agua. Autor: José Manuel Suárez. Fuente: Flickr
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Water_drop_001.jpg

* Gotas de rocío. Autor: Steve took it

Ondas: Olas

¿Qué son las olas? Se trata de soluciones en forma de onda para las ecuaciones de Euler o Navier-Stokes, análogas a las soluciones en forma de onda para el electromagnetismo (ondas de radio o de televisión). Estas ondas pueden tener longitudes del orden de centímetros -como son las llamadas capilares-, o tener longitudes kilométricas -como los devastadores tsunamis-. Pueden también aparecer, bajo ciertas circunstancias, en algunos tipos de nubes. Todas ellas presentan problemas matemáticos que son fascinantes y e interesantes de investigar.

* La gran ola de Kanagawa.

 Medios porosos

¿Cómo cambia la dinámica de un fluido en un medio poroso? ¿Cómo se mueven las aguas subterráneas? El ingeniero Henry Darcy, en 1856, dedujo de forma experimental que el fluido se rige por lo que hoy en día se conoce como la ley de Darcy-

El agua subterránea es el medio de transporte de los químicos disueltos y de los contaminantes. Los materiales disueltos de los desechos acumulados en el suelo o en enterrados pueden ser transportados desde el lugar del depósito por el flujo del agua subterránea contaminada, por lo que el estudio del transporte del fluido en medios porosos es muy importante para entender y prevenir la dispersión de contaminantes.

* Río subterráneo en la cueva de Wookey Hole Cave and underground river. Imagen: Becks.

Investigación hoy

La mecánica de fluidos es un campo de estudio muy activo. A pesar de la importancia práctica de sus problemas y de los esfuerzos de muchos grandes matemáticos durante varios siglos, como ya hemos visto, quedan todavía algunas cuestiones fundamentales en la mecánica de fluidos que esperan respuesta.

Esta disciplina está en la frontera entre el análisis matemático, las simulaciones numéricas y la física de los medios continuos, pero además tiene una estrecha relación con otras ciencias: especialmente con la física, pero también con la ingeniería, o la meteorología.

En el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) esta rama es una de las más fructíferas y en los últimos años han obtenidos importantes resultados, como: la descripción matemática de cómo se produce la ruptura de una ola, obtenida por el equipo de Diego Córdoba, y la resolución de la conjetura de Arnold por Daniel Peralta y Alberto Enciso.

Ruptura de una ola

La investigación del equipo de Diego Córdoba en el ICMAT ha conseguido demostrar que en las ecuaciones de Navier-Stokes pueden formarse singularidades, un concepto matemático que en el mundo físico se traduce en fenómenos como la formación de un tornado, la quiebra de un metal al calentarlo demasiado o la ruptura de una ola.

* Investigadores del Laboratorio Charles Fefferman del ICMAT. De izquierda a derecha: Javier Gómez, Ángel Castro, Charles Fefferman, Diego Córdoba y Francisco Gancedo.

La pregunta que se plantearon los autores era la siguiente: el movimiento de fluidos en las situaciones reales presenta de forma puntual lo que llamamos singularidades, es decir, puntos en los que una ecuación, que habitualmente tiene un comportamiento regular, presenta un resultado inesperado. Si esto es así, ¿contemplan las ecuaciones de Navier-Stokes este comportamiento?

El equipo, formado por investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC en colaboración con el investigador de la Universidad de Princeton, Charles Fefferman y Francisco Gancedo, de la Universidad de Sevilla, ha conseguido demostrar que efectivamente, las ecuaciones sí contemplan las singularidades que de hecho se dan en la dinámica de fluidos. La singularidad encontrada ha sido una de tipo “splash”, precisamente la que se produce cuando una ola rompe: la interfase que separa los dos fluidos (aire y agua) de densidades distintas termina tocándose a sí misma.

* Ruptura de una gran ola en Santa Cruz (California, EE. UU.) Autor: Brocken Inaglory.

Esta demostración supone un importante avance en la comprensión de las ecuaciones de Navier-Stokes, aunque aún queda trabajo para los matemáticos en el estudio de este problema. La demostración publicada por este grupo no ha resuelto el problema del milenio referido a las ecuaciones de Navier-Stokes porque ha obviado algunas condiciones que el Instituto Clay impone para el reto, como que el fluido no tenga fronteras o que no esté en contacto con ninguna otra sustancia, algo que nunca ocurre en la práctica, por cierto. Por tanto, el grupo no ha ganado el premio pero ha logrado avanzar en la comprensión de esas ecuaciones, una cuestión en la que la comunidad matemática lleva siglos trabajando y que tiene múltiples aplicaciones en la vida cotidiana.

Conjetura de Arnold

Alberto Enciso y Daniel Peralta demostraron la conjetura de Arnold, un importante problema en el estudio de la mecánica de los fluidos. Este resultado ha sido publicado en Annals of Mathematics, una de las revistas con mayor impacto en el ámbito de esta disciplina. El trabajo está en la línea de uno de los principales problemas en dinámica de fluidos: el caracterizar las posibles trayectorias que pueden describir las partículas de un fluido. “Más allá de su interés matemático, la relevancia de estas cuestiones se debe a sus conexiones con las teorías de complejidad y turbulencia y con la estabilidad estructural de los fluidos”, afirma Enciso.

* Alberto Enciso.

*Daniel Peralta.

La conjetura que demostraron estos dos investigadores describe la complejidad de las curvas de las trayectorias de las partículas en los fluidos. “Las líneas de corriente pueden estar “muy enmarañadas”, es decir, pueden exhibir nudos y enlaces con cualquier topología”, explica.

Durante décadas, las únicas pistas que sugerían la validez de esta conjetura fueron de naturaleza física. Grandes matemáticos de la talla de Vladimir Arnold, uno de los creadores, junto a Kolmogorov y Moser, de la conocida como Teoría KAM, intentaron sin éxito demostrarla.

Historia de la mecánica de fluidos.

El ser humano, a lo largo de su historia, ha aprendido a comprender, e incluso predecir, el comportamiento de los fluidos y a crear tecnología relacionada con los mismos, como las tuberías, los canales y los aviones.

Los orígenes de esta disciplina se remontan al nacimiento de la agricultura. Estas primeras sociedades necesitaban sistemas de regadíos y canales y empezaron a crear y acumular conocimientos sobre el agua. También el auge de la navegación fomentó el interés en este tipo de estudios. En la Antigüedad Clásica vivió, como muchas otras áreas de la matemática y de la física, una etapa de esplendor en la que destacan personajes como Arquímedes.

Arquímedes

Arquímedes de Siracusa (Siracusa (Sicilia), 287 a. C. –212 a. C.) fue uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos. Como muchos otros sabios griegos no se limitó a una sola disciplina sino que también hizo contribuciones a la física, ingeniería, y astronomía. Propuso los fundamentos de hidrostática que marcan el origen del estudio científico de los fluidos.

* Arquímedes de Siracusa (Siracusa (Sicilia), 287 a. C. –212 a. C.)

Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes narra su invención de un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo con Vitruvio, el rey Hierón II quería corroborar que su nueva corona estaba hecha sólo de oro, tal y como le habían asegurado, o si, por el contrario le habían agregado plata en su realización. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos, así que el problema requería calcular la masa y el volumen de la corona, y a partir de ahí, su densidad, pero la forma irregular de la corona dificultaba el cálculo. La historia cuenta que, al tomar un baño Arquímides notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba. Debido a que el agua no se puede comprimir, al sumergir otro cuerpo, se desplazara una cantidad de agua igual a su propio volumen. Y en su problema, al dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, gritando "¡Eureka!" (en griego antiguo: "εὕρηκα" que significa "¡Lo he encontrado!"), tan emocionado que olvidó vestirse.

* ¡Eureka!

Otra versión asegura que Arquímedes resolvió el problema con el llamado principio de Arquímedes, un principio de la hidrostática que asegura que todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del líquido que desaloja. También se puede comparar la densidad de la corona dorada con la de oro puro usando una balanza: se pone la corona a un lado de la balanza y en el otro una muestra de oro puro del mismo peso, y se sumerge en el agua; si la corona tuviese menos densidad que el oro, desplazaría más agua debido a su mayor volumen y experimentaría un mayor empuje que la muestra de oro.

La Edad Media marcó un periodo de estancamiento que no se superó hasta el Renacimiento, cuando científicos como Leonardo Da Vinci vuelven estudiar las corrientes de agua. La revolución científica del siglo XVI dotó a esta disciplina de un puesto destacado dentro de la física y la matemática con grandes nombres como Torricelli o Pascal, pero sobre todo con el nacimiento de la mecánica de Newton y al cálculo diferencial por parte de Leibniz y Newton. La nueva hidráulica renacentista planteaba ya de forma matemática y precisa los problemas que afrontaba.

Newton obtuvo las primeras leyes de la dinámica de Fluidos que posteriormente ampliarían Bernoulli, Euler, Lagrange, Cauchy y el resto de las grandes mentes de la mecánica clásica.

Isaac Newton (1643 - 1727) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, uno de los tratados más importantes de la historia de la ciencia, que establece las bases de la mecánica clásica. Entre muchos otros logros científicos, desarrolló el cálculo matemático.

* Retrato de Sir Isaac Newton por el pintor Gottfried Kniller.

La contribución de Newton al estudio de los fluidos fue múltiple y a niveles muy diferentes. Abarcó desde sus fundamentos, en forma indirecta, hasta los meticulosos experimentos que llevó a cabo sobre vórtices (remolinos) y viscosidad (fricción interna).

Desde el punto de vista general, el marco teórico, el aparato matemático y las leyes físicas que Newton estableció, fueron, y siguen siendo, los ingredientes esenciales de la teoría de los fluidos. Estos elementos fueron una aporte fundamental, aunque indirecto, para el establecimiento final de la teoría que realizó la notable generación que le siguió, formada por Euler, dos de los Bernoulli, D'Alambert y Lagrange.

* Retrato de Leonhard Euler (1707-1783) por el pintor Jakob Emanuel Handmann.