Un nuevo proyecto Marie Curie de la Unión Europea para estudiar la transformada de Fourier

 

Un nuevo proyecto Marie Curie de la Unión Europea para estudiar la transformada de Fourier

  • Se trata de una herramienta matemática que se aplica a diversos campos de la ingeniería y la física, como el estudio y procesamiento de señales en el espacio de frecuencia.
  • El investigador del ICMAT Javier Ramos desarrollará el proyecto, de dos años de duración, bajo la tutela de Keith Rogers, Científico Titular en esta misma institución.

Madrid, 10 de septiembre de 2019. La transformada de Fourier es uno de los objetos matemáticos más conocidos. Propuesta en 1822 por el matemático francés Joseph Fourier dentro de su teoría analítica del calor, esta transformación permite descomponer funciones en una suma de elementos más sencillos, con los que es más fácil operar. Fourier la ideó para solucionar la ecuación diferencial parcial que determina la difusión del calor. Para ello, observó que ciertas funciones con comportamiento periódico se podían expresar como una suma infinita de funciones trigonométricas. Esta aportación dio lugar al llamado análisis de Fourier, un área muy activa en la investigación actual. Sus aplicaciones abarcan desde el estudio de señales en el espacio de frecuencia, hasta su tratamiento, almacenamiento y transmisión (por ejemplo, mediante la tecnología del MP3).

Casi 100 años después, Javier Ramos ha recibido una de las becas del programa Marie Curie de la Unión Europea para estudiar el llamado problema de restricción de la transformada de Fourier, que trata de entender cómo se comporta la transformada de Fourier restringida a conjuntos de medida cero. Ramos analiza el caso particular de funciones que cumplen una serie de propiedades, denominadas L^p. Su objetivo es “determinar para qué valores de p es posible restringir la transformada de Fourier de funciones en L^p a cierto tipo de superficies”, tal y como explica el investigador. La restricción es de por sí muy sorprendente, ya que no podemos asegurar continuidad de la transformada de Fourier salvo para el caso de p=1.

Esta conjetura fue resuelta en dimensión dos en los años setenta, gracias a los trabajos de Charles Fefferman y de Antoni Zygmund. Sin embargo, sigue abierta en dimensiones mayores, a pesar de que varios matemáticos distinguidos con las medallas Fields y premios Salem han trabajado en ella durante años. Eso sí, “todos los avances en la conjetura generan nuevas ideas que suelen ser aplicables a muchos otros problemas”, asegura Ramos. Por ejemplo, recientemente se probó la llamada conjetura de Vinogradov, una de las más importantes en teoría de números, a través de estimaciones de restricción. La teoría de restricción ha establecido conexiones con muchos campos de las matemáticas: ecuaciones dispersivas, combinatoria, teoría geométrica de la medida, geometría algebraica o teoría de números.

En su proyecto, “A multilinear approach to the restriction problem with applications to geometric measure theory, the Schrödinger equation and inverse problems”, Ramos propone utilizar estimaciones multilineales con la dependencia óptima en la transversalidad para deducir estimaciones lineales, que son una forma cuantitativa de probar que la restricción es posible.

“Hasta la fecha, la única forma que se conoce de pasar de estimaciones multilineares a lineares utiliza el método de Bourgain-Guth, basado en una dependencia no óptima de la transversalidad. Aunque para algunos problemas funciona muy bien, para otros pierde cierta información. Parece que este nuevo enfoque (con la dependencia óptima) va a permitir entender mejor el problema y permitir atacar varios problemas en los que la comunidad ha estado atascada hasta la fecha”, afirma Ramos.

Durante los próximos dos años, Javier Ramos investigará dentro del grupo de Análisis Armónico del ICMAT, bajo la tutela de Keith Rogers, investigador distinguido con un proyecto del Consejo Europeo de Investigación (ERC).