Espacios de Banach: pieza clave del análisis funcional

 

El workshop “Banach spaces and Banach lattices” se celebrará del 9 al 13 de septiembre en el ICMAT. Especialistas de todo el mundo en espacios de Banach compartirán a lo largo de esta semana sus más recientes trabajos en el campo. El programa científico está formado por cuatro minicursos, seis conferencias plenarias, charlas cortas y sesiones de póster diarias.

Un espacio de Banach es un espacio vectorial dotado de una norma, que permite medir vectores (y por lo tanto distancias entre elementos del espacio). Además es completo, lo que quiere decir que cualquier sucesión infinita de vectores que se van acercando entre sí cada vez más convergen a un único punto límite del espacio. “Por ejemplo, el espacio euclídeo bidimensional o tridimensional (de hecho, de cualquier dimensión) son ejemplos de espacios de Banach. Otro ejemplo es el conjunto de todas las funciones definidas en la recta real que sean integrables respecto de cierta medida”, afirma Pedro Tradacete, investigador del ICMAT y organizador del congreso “Banach spaces and Banach lattices”, que tendrá lugar en el ICMAT del 9 al 13 de septiembre.

Este último ejemplo (el conjunto de todas las funciones definidas en la recta real que sean integrables respecto de cierta medida) es un espacio de dimensión infinita, como suelen ser los objetos con los que trabajan los expertos de esta área. El estudio de espacios de funciones como espacios de Banach hace que estos constituyan una pieza central del análisis funcional.

Este era el objetivo de su creador, el matemático polaco Stefan Banach. “En los años 30 del siglo pasado formalizó la teoría buscando un marco para abordar varios problemas abiertos que surgían en análisis matemático”, asegura Tradacete. De esta manera, Banach cambió el enfoque para abordar estas cuestiones: si antes se estudiaba una determinada función con ciertas propiedades de regularidad, ahora se podían estudiar el espacio de todas las funciones con la misma propiedad.

“La escuela que Banach creó en Polonia antes de la segunda Guerra Mundial se hizo mundialmente conocida por la pasión con la que se enfrentaban a los problemas, discutiendo entre jarras de cerveza en un local de Leópolis llamado Scottish Café. Banach y sus alumnos, colaboradores y visitantes ocasionales, fueron coleccionando en un famoso cuaderno, apodado “Scottish Book”, aquellos problemas sobre espacios de Banach y otras cuestiones interesantes que no eran capaces de resolver, añadiendo en muchas ocasiones premios para quién fuera capaz de resolverlos. Años más tarde, en 1972, el joven Per Enflo resolvió el problema 153 del Scottish Book al construir el primer ejemplo de espacio de Banach separable sin base de Schauder, por lo que recibió su premio: un ganso vivo”, relata Tradacete.

Espacios de Banach para formalizar la mecánica cuántica o estudiar problemas de informática teórica

Más allá del análisis funcional, el área tiene conexiones con aspectos de la teoría de la medida, el análisis armónico y el análisis complejo, pero también tiene relaciones profundas con aspectos de la lógica, la combinatoria, la teoría de la probabilidad, la geometría convexa o las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). “En los últimos años se ha desarrollado una fructífera simbiosis entre la geometría no-lineal de espacios de Banach y diversas cuestiones de informática teórica”, relata Tradacete. Traspasando las fronteras de las matemáticas, estos espacios tienen aplicaciones a problemas provenientes de física, biología o economía. “Por ejemplo, los espacios de Hilbert, que son un caso particular de espacio de Banach, y los operadores entre ellos, se utilizan para formalizar la mecánica cuántica. También se utilizan en problemas de EDPs, pues en muchos casos las soluciones a una ecuación viven en determinado espacio de Banach clásico, lo cual proporciona información relevante”, enumera el matemático.

Sobre todos estos temas discutirán los 90 especialistas reunidos en el workshop “Banach spaces and Banach lattices”. El congreso estará formado por cuatro minicursos, seis conferencias plenarias, charlas cortas y sesiones de póster diarias. El horario y resúmenes de las charlas ya están disponibles en este enlace.

Ponentes invitados:

  • Jesús M. F. Castillo (Universidad de Extremadura)
  • Valentin Ferenczi (Universidad de Sao Paulo, Brasil)
  • Gilles Godefroy (Instituto de Matemáticas de Jussieu, Francia)
  • Anke Kalauch (Universidad Técnica de Dresde, Alemania)
  • Ondrej Kalenda (Universidad Charles de Praga, República Checa)
  • Denny Leung (Universidad Nacional de Singapur)
  • Mieczyslaw Mastylo (Universidad Adam Mickiewicz, Polonia)
  • Eva Pernecká (Universidad Técnica Checa en Praga, República Checa)
  • Gideon Schechtman (Instituto Weizmann de Ciencias, Israel)
  • Vladimir Troitsky (Universidad de Alberta, Canadá)

 

Ponentes invitados:

  • Antonio Avilés (Universidad de Murcia)
  • Héctor Jardón (Universidad de Oviedo)
  • Pedro Tradacete (ICMAT-CSIC)

 

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