¿Qué números son suma de siete cubos?

El experto en teoría de números Samir Siksek (Universidad de Warwick) impartirá el próximo coloquio UAM-ICMAT. Será el viernes 7 de febrero, y tratará sobre su resolución del problema de Waring/Jacobi. Enrique González Jiménez, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid, presenta el tema en el siguiente texto.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un resultado clásico de la teoría de números que establece que todo número natural es la suma de cuatro cuadrados. Este tipo de problemas que estudian la posibilidad de escribir cualquier número dado como una suma de números con ciertas características son muy populares en la disciplina. Una de las afirmaciones más célebres es el último teorema de Fermat; otra más desconocida es el problema de Waring. En 1770, el matemático inglés Edward Waring conjeturó que todo número natural es la suma de, como máximo, nueve cubos (podrían ser menos cubos), y también, se puede escribir como 19 potencias cuartas. El problema de Waring establece, en general, que fijado un número natural k, es posible escribir todo número natural como la suma de s potencias k-ésimas positivas (donde s depende de k).

El problema fue resuelto por David Hilbert en 1909 de forma afirmativa. Sin embargo, Hilbert dio una demostración teórica, pero no constructiva. Es decir, que si denotamos por g(k) el mínimo número s que permite expresar todo número natural como la suma de s potencias k-ésimas positivas, entonces Hilbert demostró solo la existencia de g(k), pero no explicó cómo se obtenía. Actualmente se conoce g(k) para muchos valores de k, y en concreto que g(3)=9 y que g(4)=19, como afirmaba Waring. Sin embargo, no se sabe cuál es la construcción general para cualquier valor.

Un problema aún más complicado sería el siguiente: ¿dado un natural k, cuál el menor entero s tal que para todo natural suficientemente grande, es posible escribirlo como suma de s potencias k-ésimas positivas? A ese valor se le denota por G(k). Sólo se conocen los valores G(2) = 4, obtenido por Joseph-Louis Lagrange en 1770, y G(4) = 16, por Harold Davenport en 1939. Si nos limitamos a cubos, es decir k=3, Carl Jacobi conjeturó en 1851 que G(3)<=7. De hecho, su conjetura es aún más explícita: “Cualquier número natural distinto de 15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454 es la suma de 7 cubos”.

El matemático Samir Siksek ha demostrado recientemente esta conjetura, y presentará su resultado el próximo en el coloquio ICMAT-UAM, de forma accesible para no expertos en el campo.

Samir Siksek

Samir Siksek es un reconocido investigador en teoría de números. Doctorado en 1995 por la Universidad de Exeter, en la actualidad es catedrático en el Mathematics Institute de la Universidad de Warwick. Es uno de los mayores expertos en la resolución de ecuaciones diofánticas. También ha trabajado en otro de los grandes retos en la moderna teoría de números: la elaboración de un algoritmo para la obtención de todos los puntos racionales de una curva algebraica definida sobre un cuerpo de números de género mayor a uno. En particular cabe destacar los resultados aportados en el contexto de distintas generalizaciones del Último Teorema de Fermat y resultados de modularidad de curvas elípticas. También cabe destacar sus resultados sobre el problema de Waring/Jacobi.

http://homepages.warwick.ac.uk/~maseap/

Coloquio UAM-ICMAT: Which numbers are sums of seven cubes?

Samir Siksek, Universidad de Warwick

7 de febrero, 12:00. Aula 520, Módulo 17, Departamento de Matemáticas, UAM.