Javier Fresán, en el próximo coloquio de matemáticas conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM

Javier Fresán obtuvo el premio Vicente Caselles en 2015. Imagen: J Fresán.

El próximo viernes 4 de febrero, a las 12:00, Javier Fresán, profesor Hadamard en la École polytechnique de París, impartirá el próximo coloquio de matemáticas conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM. En él, hablará de las llamadas funciones E, que relacionan la trascendencia con los modos de vibración de una membrana.Tendrá lugar en el aula 520 del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y también se podrá seguir de forma virtual en el siguiente enlace.

“Las funciones E son una generalización de la función exponencial. Son series de potencias que son solución de una ecuación diferencial y cuyos coeficientes cumplen ciertas condiciones de naturaleza aritmética”, explica Fresán. Fueron introducidas por Carl Siegel en 1939, con el objetivo de extender a otras funciones especiales los teoremas de trascendencia que Charles Hermite, Ferdinand von Lindemann y Karl Weierstrass demostraron en el siglo XIX para los valores de la función exponencial. Por ejemplo, el hecho de que los números e y pi no son raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales.

“El impacto de las funciones E se debe en gran medida al teorema de Siegel-Shidlovsky, que es uno de los resultados más fuertes de la teoría de la trascendencia. Dice más o menos que no puede haber relaciones accidentales entre los valores de dos funciones E en un argumento algebraico: si hay una relación es porque esa relación ya existe entre las funciones. El enunciado análogo para otras funciones de interés como las integrales elípticas es completamente falso”, afirma Fresán. Gracias a este teorema se puede demostrar, por ejemplo, que los ceros de las funciones de Bessel son números trascendentes.

Fresán ha trabajado sobre estos objetos matemáticos, en concreto, en preguntas relacionadas con la geometría por medio de representaciones integrales de tipo algebraico. “El sueño sería demostrar que toda función E es una función de periodos exponenciales. El teorema que Peter Jossen y yo demostramos el año pasado tiene algo que ver con esto y responde a una pregunta en el artículo original de Siegel. Tras observar que los ejemplos de funciones E fáciles de escribir son todos expresiones polinomiales en ciertas funciones hipergeométricas, Siegel se pregunta si podría ser que fuese cierto para todas las funciones E. Peter y yo demostramos que no: de hecho, casi ninguna función E solución de una ecuación diferencial de orden tres es de este tipo”, relata.

Sobre el ponente

La investigación de Fresán se centra en la teoría de números y la geometría algebraica. Entre sus resultados recientes destacan los artículos “Hodge theory of Kloosterman connections” (Duke Mathematical Journal), en el que demuestra que una familia de funciones L asociadas a sumas de Kloosterman se extienden al plano complejo y satisfacen una ecuación funcional, y “A non-hypergeometric E-function” (Annals of Mathematics), en el que responde a una pregunta sobre funciones E formulada por Siegel en 1929. En su faceta de divulgador, ha publicado cuatro libros y colabora regularmente con los medios de comunicación.

En 2015 recibió el premio Vicent Caselles de la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación BBVA.

Joint Mathematics Colloquium (ICMAT-UAM-UC3M-UCM): “Funciones E, o qué tiene que ver la trascendencia con los modos de vibración de una membrana”

Javier Fresán (Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, École Polytechnique)

Fecha y hora: 4 de febrero de 2022 – 12:00

Lugar:   Aula 520, Dpto. de Matemáticas, UAM, y online – youtu.be/KqLT_vE9rnw

Resumen:

Los números pi y e no son raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales. Es un caso particular de uno de los resultados más espectaculares de la teoría de la trascendencia: el teorema de Hemite-Lindemann-Weierstrass. Con su demostración a finales del siglo XIX surge la pregunta inevitable de cómo extenderlo más allá de la función exponencial, por ejemplo, a las funciones de Bessel, cuyos ceros expresan los modos de vibración de una membrana circular. Con este propósito Siegel introduce el concepto de función E en un artículo de 1929 que cambiará el rumbo de la teoría de números. Las funciones E son series de potencias que son solución de una ecuación diferencial y cuyos coeficientes cumplen ciertas condiciones de naturaleza aritmética. Explicaré su historia, daré muchos ejemplos y, si hay tiempo, hacia el final contaré cómo Peter Jossen y yo respondimos hace poco a una de las preguntas abiertas del artículo de Siegel.