Existencia de estructuras Engel

Título: Existence h-principle for Engel structures.

Autor(es): Roger Casals (Departamento de Matemáticas, Instituto de Tecnología de Massachusetts), José Luis Pérez (ICMAT), Álvaro del Pino (ICMAT), Francisco Presas (ICMAT).

Fuente: Inventiones mathematicae.

Fecha de publicación: 12 de mayo de 2017.

Abstract: Las estructuras de contacto son distribuciones (una elección continua de direcciones “admisibles” en cada punto del espacio) no integrables que se definen en espacios geométricos de dimensión impar., y que se construyen en espacios o variedades de dimensión 2n+1 (impar), y seleccionan un subespacio de 2n direcciones en cada punto. Por ejemplo, en una variedad de dimensión 3, en cada punto se elige un plano. Un ejemplo es el sistema mecánico que modeliza un monopatín, que tiene tres grados de libertad: las dos coordenadas de su posición en el plano y el ángulo en el que apunta su eje. La distribución de movimientos “admisibles” en cada punto está dada por la línea definida por el eje (un grado de libertad) y el ángulo (un segundo grado de libertad). El hecho de que se pueda alcanzar cualquier punto del espacio (movernos mediante movimientos admisibles de una tripleta de coordenadas a otra) es una medida de la no integrabilidad de la distribución. Los objetos análogos en dimensión cuatro son las estructuras de Engel, y son distribuciones 2 dimensionales no-integrables.

Las distribuciones no integrables están relacionadas con la teoría de control, un campo interdisciplinario de la ingeniería y las matemáticas computacionales que trata el comportamiento de sistemas dinámicos (aquellos sistemas que evolucionan con el tiempo, como puede ser el movimiento de un monopatín o de una partícula en un fluido) bajo una serie de “controles” que se corresponden a las direcciones admisibles. La teoría estudia propiedades geométricas del conjunto de trayectorias admisibles, y busca optimizar observables de ellas como el tiempo empleado o la energía consumida. Por otra parte, las distribuciones no integrables representan clases de sistemas mecánicos y por tanto están estrechamente relacionados con la geometría simpléctica, que es el área de la geometría que surge al estudiar las ecuaciones de Newton bajo el formalismo de la geometría diferencial.

Es por ello que la teoría de distribuciones no-integrables se encuentra en la intersección de la geometría simpléctica, formalismo abstracto de los sistemas mecánicos, y la teoría de control que estudia los recorridos y eficiencias de las trayectorias admisibles de las distribuciones. Otro actor importante en el juego es el h-principio, un conjunto de herramientas topológico-geométricas que se emplean para determinar la existencia y posterior clasificación de ciertas clases de estructuras geométricas. El h-principio o principio de homotopía surgió en los años 60 para estudiar estructuras geométricas que localmente son equivalentes o isomorfas, pero globalmente pueden no serlo. Este campo de investigación encontró su inspiración inicial en los teoremas de encajes euclídeos isométricos de baja regularidad de John Nash (EE.UU., 1928) y fue extendido a la teoría de inmersiones diferenciables por S. Smale (EE.UU., 1930). Mikhail Gromov (Rusia, 1943) formuló el principio general que subyace a estas teorías aparentemente diferentes. En su libro “Partial Differential Relations” empleó el principio-h para encontrar soluciones de todo tipo de ecuaciones en derivadas parciales geométricas.

Las estructuras de contacto tienen relación con la teoría de la relatividad y con los sistemas dinámicos Hamiltonianos. Su historia se remonta a Élie Cartan (Francia, 1869), quien fue el primero en estudiarlas localmente y compararlas con otras clases de distribuciones.

Como campo de investigación independiente despegó hace 40 años, aunque fue en los años 80 cuando se dio un salto en su comprensión, en concreto en el caso de espacios de dimensión 3. Desde entonces el interés por esta área es creciente. El avance en el resto de dimensiones comenzó en 2015, cuando el grupo de Fran Presas, investigador del ICMAT, publicó un trabajo en la revista Annals of Mathematics que demostraba que al menos había una estructura de contacto en toda variedad de dimensión 5 que verifique una condición necesaria obvia. Este trabajo sirvió de despertador y motivó que, a los pocos meses, se probará la existencia de estructuras de contacto en cualquier espacio de dimensión impar que satisfaga una condición necesaria topológica obvia.

Lo que motivó el desarrollo de la geometría de contacto es que en bastantes espacios hay más de una estructura de contacto, abriéndose así el problema de su de clasificación. Para ello, en los años 80 Gromov y Andreas Floer (Alemania, 1956) desarrollaron la teoría de curvas pseudo-holomorfas y sus invariantes asociados, una herramienta que permite distinguir distribuciones diferentes. La zoología o clasificación de las estructuras de contacto es un campo de investigación muy activo actualmente por la gran cantidad de ejemplos que se pueden encontrar es estos espacios geométricos.

Este año, Fran Presas, junto a Rogel Casals, José Luis Pérez y Álvaro del Pino, ha publicado el artículo “Existence h-principle for Engel structures” en Inventiones Mathematicae. Este trabajo aporta el primer teorema de existencia de estructuras Engel en variedades de dimensión 4. Este tipo de espacios geométricos tienen características especiales, constituyen la clase menos comprendida de distribuciones topológicamente estables, concepto introducido por E. Cartan, y su estudio tiene aplicaciones en relatividad general. El primer indicio hacia una posible aplicación del h-principio en geometría Engel lo aportó T. Vogel en 2009, pero no fue hasta 2017 cuando Roger Casals, José Luis Pérez, Álvaro del Pino y Fran Presas probaron un resultado de existencia totalmente general empleando el principio de homotopía. Actualmente, la clasificación de estructuras Engel es un área emergente. La madurez del área se alcanzaría, a semejanza del caso de contacto, si se encuentran ejemplos de espacios con al menos dos estructuras Engel distintas.

 

Sobre los autores:

Roger Casals es CLE Moore Instructor en el departamento de matemáticas del Instituto de Tecnología de Massachusetts. Realizó la tesis doctoral en el ICMAT bajo la dirección de Fran Presas, por la que recibió el premio José Luis Rubio de Francia de la Real Sociedad Matemática Española en 2016. Su campo de investigación se centra en la topología simpléctica y de contacto, la dicotomía rigidez-flexibilidad, el h-principio y los grupos de contactomorfismos.

José Luis Pérez es investigador predoctoral en el ICMAT. Se licenció en Matemáticas en la Universidad de Sevilla y actualmente realiza los estudios de doctorado en el ICMAT, bajo la supervisión de Fran Presas. Su campo de investigación se centra en el área de la topología simpléctica, estructuras de contacto y estructuras Engel.

Álvaro del Pino es investigador postdoctoral en la Universidad de Utrecht, Holanda. Realizó los estudios de doctorado en el ICMAT bajo la supervisión de Fran Presas. Estudia fenómenos de flexibilidad en topología de contacto y simpléctica. También le interesan las aplicaciones del h-principio.

Fran Presas es Científico Titular del CSIC y miembro del ICMAT. Se doctoró en matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid en el año 2000 y realizó estudios de postdoctorado en la Universidad de Stanford. Trabaja en topología de contacto de dimensión alta, topología simpléctica, cuantización geométrica, teoría general de foliaciones y clasificación de estructuras Engel.

 

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