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El trabajo de los matemáticos: “Decir la verdad”


Fernando Jiménez Alburquerque en un aula del ICMAT. //Imagen: Fernando Jiménez Alburquerque

A casi todos los matemáticos alguna vez a lo largo de su carrera le han preguntado en qué consiste su profesión. Para aquellos que aún no lo tengan claro, Fernando Jiménez Alburquerque, antiguo miembro del ICMAT y actualmente investigador postdoctoral en la Universidad de Waterloo (Canadá) y en la Universidad Técnica de Múnich (TUM) (Alemania), da una respuesta a la recurrente cuestión en esta entrada.

Una constante en mi vida como matemático ha sido recibir un gesto extrañado de quienes, en una charla casual, me escuchan decir que soy precisamente eso: “un matemático”.  La conversación suele ser como sigue:

-¿Y tú a qué te dedicas?

-Soy matemático…

-¿Matemático?...pero ¿qué es lo que haces?...

-…..

- ¿Te pasas el día haciendo sumas enormes, divisiones con decimales?

La broma desemboca en risas, lo que supone un gran alivio para mí. Me siento aliviado por no tener que seguir debatiéndome entre ser preciso, lo que implicaría palabros ajenos a la experiencia convencional de cualquier persona, y un ataque de sinceridad. De hecho, los puntos suspensivos sustituyen a los balbuceos que surgen al tratar de explicar en términos sencillos los fundamentos de mi trabajo. Y es posible que ése sea el error: querer resaltar lo que me distingue de mis colegas cuando, quizá, sería más sencillo dar rienda suelta al ataque de sinceridad y responder que la labor de los matemáticos consiste en decir la verdad.

Se entenderá que no es fácil dar esa contestación; primero, porque resulta muy grandilocuente y, segundo, porque es un poco imprecisa. Además, mis colegas me acusarán de reduccionista, y con razón, pero para aliviar la pedantería y difuminar la imprecisión me veo obligado manejar los elementos más básicos de la investigación matemática, a extraer el meollo del asunto. Por supuesto, obviaré el eterno debate filosófico de si existe o no una verdad absoluta; por el contrario, emplearé una noción más científica, el tipo de verdad que contienen los teoremas

La palabra era inevitable. Es tan ubicua en el mundo de las matemáticas que también aparece en la graciosa definición que dio Alfred Rényi: “un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”, a la que debe el nombre el blog del ICMAT en el diario El País. Pero ¿qué es un teorema? La RAE lo define como “Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas, postulados o de otras proposiciones ya demostradas”. En otras palabras, un teorema es una afirmación que es verdad sobre cierto conjunto de axiomas, que son otras afirmaciones que han sido previamente probadas o se admiten como ciertas. 

Es interesante descubrir que no todas las afirmaciones demostradas en los artículos matemáticos se clasifican como teoremas. De hecho, hay cuatro categorías (sin contar las definiciones): lemas, proposiciones, teoremas  y corolarios.  Se acepta normalmente que un lema es una sentencia “menor”, una especie de herramienta para probar otras afirmaciones. Una proposición y un teorema podrían ser lo mismo, pero se suele reservar la segunda categoría  a las afirmaciones más relevantes de un artículo o para aquellas que adquieren importancia a lo largo de la historia. Los corolarios son afirmaciones que se siguen de otras sentencias probadas previamente, pero que no son triviales. Todas estas verdades componen el esqueleto fundamental de los artículos matemáticos. En la tipografía convencional de la ciencia, cada una de las sentencias está precedida en negrita por su categoría, mientras que el propio cuerpo de la sentencia se escribe en cursiva. Seguidamente, se expone su demostración.

Pensemos en un ejemplo sencillo: los números naturales, que son aquellos que se usan para contar los elementos de un conjunto. Dentro de ellos, están los números pares, los números impares y los números primos.  El lector familiarizado con nuestra ciencia podrá intuir la afirmación que quiero demostrar, pero utilizaré la tipografía matemática para mostrar un ejemplo “de juguete” (se asume como conocida  la noción de divisibilidad).

Definición 1: Todos los números naturales que son divisibles por 2 se llaman pares.

Definición 2: Todos los números naturales que no son pares se llaman impares.

Definición 3: Todos los números naturales mayores que 1 y que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos se llaman primos.

Proposición: Todos los números primos salvo el 2 son impares.

Prueba: En este caso se actúa por reducción al absurdo. Excluyendo el 2, si algún número primo fuera par, de acuerdo con la Definición 1 tendría al 2 como divisor aparte del 1 y él mismo, lo que contradice la Definición 3. Por tanto, de acuerdo con la Definición 2, se sigue que todos los primos salvo el 2 son impares.

Como digo, el ejemplo es muy sencillo, pero ilustra bien el proceso de definición, afirmación y demostración en matemáticas. Ninguna sentencia que no sea verdadera sobre cierto conjunto de axiomas tiene relevancia en nuestro gremio, ya sea en las ramas del cálculo, el álgebra, la geometría, la teoría de números o cualquier otra, y esa condición (verdadera), en un nivel más elevado de complejidad, es nuestro objetivo más preciado. Así pues, los matemáticos no nos pasamos el día haciendo divisiones gigantescas, o, tal como quiere hacer creer el cine contemporáneo, ensuciando gratuitamente con nuestros garabatos cristales y espejos (¡como si no existieran las pizarras!). Tratamos de decir la verdad.

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Fernando Jiménez Alburquerque es investigador postdoctoral en la Universidad de Waterloo (Canadá) y en la Universidad Técnica de Múnich (TUM) (Alemania).