Escuela JAE de Matemáticas 2012

La V edición de la Escuela JAE de Matemáticas se va a desarrollar del 2 al 27 de julio de 2012 en el Aula Roja (2-3 y 5-6 de julio), en el Aula Gris 2 (4 de julio)  y en el Aula Gris 1 (9-27 de julio) del ICMAT.

En ella van a participar los JAE Intro de 2012 así como otros estudiantes de Grado o Licenciatura que lo deseen. Para ello, deberán solicitar una invitación por correo-e a esther.fuentes(a)icmat.es antes del 27 de junio acompañado de una recomendación de un profesor universitario o investigador y CV. La carta de recomendación la enviarán los profesores a esa misma dirección de correo electrónico. Las invitaciones se enviarán a finales de junio.

Para recibir el certificado de la Escuela, cada estudiante tiene que asistir a 3 cursos de los 5 cursos propuestos. Este es el mínimo exigido, pero por supuesto les animamos a asistir a cuantos cursos les interesen.

Cursos:

• José Maria Arrieta, Rosa Pardo y Aníbal Rodríguez Bernal: Estudio cualitativo y cuantitativo de sistemas dinámicos (Curso de 10 horas) (SD)
• Tomás L. Gómez y Marina Logares: Geometría Algebraica (Curso de 10 horas) (GA)
• Francisco Presas Mata: Órbitas periódicas de sistemas Hamiltonianos (Curso de 10 horas) (SH)
• Carlos Palazuelos y Nacho Villanueva: Teoría de la información cuántica (Curso de 10 horas) (IC)
• Antonio Córdoba, Javier Cilleruelo y Florian Luca: Teoría de números (Curso de 18 horas) (TN)

Otras actividades:

• Apertura e inscripción en la Escuela JAE de Matemáticas (Apertura)

• Rafael Orive (subdirector del ICMAT): Presentación “Qué es el ICMAT”. Líneas de investigación. Tesis doctorales en el ICMAT. (Intro ICMAT)

• Presentación de másters de matemáticas de universidades (UAM, UC3M y UCM). (Máster Univ)
  

• Curso rápido sobre el uso de recursos bibliográficos de la biblioteca. (Biblio)

Horario:

Programa:

• José Maria Arrieta, Rosa Pardo y Aníbal Rodríguez Bernal: Estudio cualitativo y cuantitativo de sistemas dinámicos (Curso de 10 horas) (SD)
  

  Programa:

  1. Generalidades

  2. Dinámica Local

         Este tema incluye: Linealización. Equilibrios. Teorema de Hartman--Grobmann. Variedades locales invariantes. Soluciones periódicas. Sistemas no autónomos: aplicación de Poincaré. Sistema autónomos: secciones de Poincaré.

  3. Dinámica global de sistemas disipativos

         Este tema incluye: Conjuntos absorbentes.Omega límites. Conjuntos inestables de conjuntos invariantes. Atractores.

  4. Robustez: permanencia frente a perturbaciones.

         Este tema incluye: Equilibrios. Soluciones periódicas. Atractores.

• Tomás L. Gómez y Marina Logares: Geometría Algebraica (Curso de 10 horas) (GA)

         Descripción: Este curso es una introducción a la geometría algebraica. Se empezará con las nociones básicas de algebra conmutativa y el teorema del Nullstellensatz, que hace de puente entre el algebra y la geometría. Después se mostrarán algunos resultados básicos de geometría algebraica (género de curvas planas, coordenadas de Frenchel-Nielsen, cocientes de acciones por grupos siguiendo la "geometric invariant theory"). Se han elegido estos temas porque no precisan de muchos conocimientos previos pero ya muestran el tipo de problemas en los que se trabaja en geometría algebraica.

  Finalmente, se hará una breve introducción a la teoría de los espacios de moduli de fibrados, por ser esta un área donde los matemáticos del ICMAT trabajamos activamente.

  Programa:

  1. Hilbert Nullstellensatz.

  2. Cálculo del género de una curva plana.

  3. Coordenadas de Frenchel-Nielsen del moduli de curvas.

  4. Introducción a la "geometric invariant theory"

  5. Introducción al espacio de moduli de fibrados.

  Bibliografía:

     Fulton: Algebraic Curves

• Francisco Presas Mata: Órbitas periódicas de sistemas Hamiltonianos (Curso de 10 horas) (SH)

         Descripción: La conjetura de Seifert indica que todo campo vectorial sin ceros en la 3-esfera (el espacio euclídeo compactificado en el infinito) posee una órbita periódica. En un largo proceso desarrollado en los últimos 30 años se han encontrado contraejemplos con la mayor generalidad. El caso límite de validez de la conjetura se establece en un tipo especial de campos vectoriales, los Hamiltonianos, para los que la conjetura es bajo ciertas hipótesis cierta. El objetivo del curso es explicar la historia de este problema.

  Programa:

  1. Nociones básicas de sistemas dinámicos en variedades.

  2. La conjetura de Seifert. Contraejemplos clásicos, diferenciables y de divergencia nula.

  3. Dinámica Hamiltoniana. Propiedades básicas de un flujo Hamiltoniano. Nociones de geometría simpléctica: hipersuperficies convexas.

  4. La conjetura de Seifert-Weinstein para sistemas Hamiltonianos convexos. Prueba en el espacio euclídeo. El caso general: un denso de niveles de energía admite orbitas periódicas.

  5. Los contraejemplos Hamiltonianos a la conjetura de Seifert.

  Bibliografía:

     Referencia general de sistemas dinámicos: Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 3. Springer-Verlag, Berlin, 1988.

     Viktor L. Ginzburg, Basak Gürel. A C2-smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in R4. Ann. of Math. 158 (2003) 953-976

     Harrison, J. C2 counterexamples to the Seifert conjecture. Topology 27 (1988) 249-278.

     Kuperberg, G. A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture. Comment. Math. Helv. 71 (1996) 70-97.

     Kuperberg, K. A smooth counterexample to the Seifert conjecture. Ann. of Math. 140 (1994) 723-732.

• Carlos Palazuelos y Nacho Villanueva: Teoría de la información cuántica (Curso de 10 horas) (IC)

         Descripción: El objetivo del curso es exponer los fundamentos de la Teoría de la Informaciín Cuántica (QI). Comenzaremos enunciando el algoritmo de Shor y el protocolo BB84, dos de los hitos que  han hecho que cobremos conciencia de que el uso de las propiedades cuánticas del universo nos permite manipular información de manera más efectiva que usando únicamente recursos "clásicos". Tras esto enunciaremos los principios de la Mecánica Cuántica en la forma en que se usan en QI y veremos algunas de los resultados elementales (distinguibilidad, Principio de Incertidumbre). Seguidamente explicaremos la desigualdad de Bell más conocida, la CHSH. La violación de esta desigualdad por la Mecánica Cuántica es uno de los resultados fundamentales de toda la teoría. Explicaremos muy brevemente como el lenguaje matemático de las normas tensoriales nos permite aproximarnos a las desigualdades de Bell. A continuación analizaremos con detalle el algoritmo de Shor y el protocolo BB84. Si hay tiempo, mostraremos resultados muy recientes que relacionan criptografía con violación de desigualdades de Bell.

  Programa:

  1. Introducción. Comparación entre recursos "clásicos" y cuánticos.

  2. Postulados de la Información Cuántica. Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

  3. Desigualdad CHSH.

  4. Normas tensoriales y desigualdades de Bell.

  5. Algoritmo de Shor

  6. Protocolo BB84

  7. Criptografía basada en la violación de desigualdades de Bell.

• Antonio Córdoba, Javier Cilleruelo y Florian Luca: Teoría de números (Curso de 18 horas) (TN)

         Descripción: El curso constará de tres minicursos de aproximadamente 6 horas cada uno, impartidos por tres investigadores distintos. Los temas serán muy variados e ilustrarán buena parte de los problemas y las técnicas de la teoría analítica y combinatoria de números.

  Antonio Córdoba (ICMAT-UAM): Teoría analítica de números.

         Resumen: Se tratarán varios problemas aritméticos en la interfaz con el análisis armónico tales como: valores de la función zeta de Riemann; teorema de los números primos en progresiones aritméticas; puntos del retículo en curvas y en círculos; el método de las series trigonométricas de Van der Corput y Vinogradov; aplicaciones de la fórmula de sumación de Poisson; problemas de Goldbach y Waring, etcétera.

  Javier Cilleruelo (ICMAT-UAM): Teoría combinatoria de números.

         Resumen: La teoría combinatoria de números trata de entender los conjuntos de enteros que tienen alguna propiedad aritmética o combinatoria notable. Por ejemplo aquellos que no contienen progresiones aritméticas (Teorema de Roth) , o bien aquellos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas (conjuntos de Sidon). En este minicurso se tratarán estos y otros problemas.

  Florian Luca (UNAM, México): Teoría multiplicativa de números.

         Resumen: Criba de Brun, primos p con p-1 suave. Aplicacion al conteo de n con phi(n)=cuadrado. Constante de Davenport, prueba de la infinidad de numeros de Carmichael. Conteos de cadenas de primos. La ecuación phi(n)=sigma(m) y otras aplicaciones.

Organizadores:

Luis Álvarez Cónsul (ICMAT-CSIC, Director de la Escuela)

Daniel Faraco (ICMAT-UAM)

Javier Parcet (ICMAT-CSIC)

Aníbal Rodríguez Bernal (ICMAT-UCM)