Este grupo está dedicado al estudio de los espacios de moduli y su relación con varias estructuras geométricas. Este estudio engloba geometría algebraica, geometría diferencial, topología, álgebra y física teórica. Estamos en contacto con otras redes investigadoras internacionales:
· GEAR: Representaciones de grupos de superfice, teoría de Teichmüller y áreas relacionadas. Fundada por la NSF (4 años).
· ITGP: topología de baja dimensión y geometría, teoría de gauge, topología cuántica, geometría y topología simpléctica, teoría de cuerdas, etc., fundada por la ESF (2009-2014).
· Red franco-española en análisis geométrico. Fundada por el CSIC, el CNRS y el GDRI (grupo investigador internacional), incluye varias universidades tanto de Francia como de España.
La teoría de singularidades es un tema de investigación transversal, en el cual muchas técnicas diferentes (algebraica, analítica, geométrica y topológica) convergen, desde diferentes perspectivas (local y global), pero con una estrecha relación entre ellas.
Esta línea está trabajando en problemas relevantes de la topología y la geometría simpléctia y problemas relacionados estrechamente (geometría multisimpléctia, de contacto y Poisson). Se centra en un estudio de vital importancia para las implicaciones físicas de la geometría simpléctica: dinámica, y la relación entre los niveles clásico y cuántico. También atiende el estudio de propiedades geométricas y topológicas de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias (sistemas dinámicos) y en derivadas parciales.
El principal objetivo de nuestra investigación es el dominio de la mecánica geométrica y de control. Las estructuras geométricas compartidas por los sistemas mecánicos y de control incluyen estructuras simplécticas, de contacto, Poisson y Jacobi, así como otras estructuras algebro-geométicas tales como algebroides y grupoides de Lie, etc., pero ello requiere estudiar en profundidad aquellos aspectos relacionados con simetría y reducción y sistemas finito-dimensionales como medios con microestructura. Al mismo tiempo, el estudio de integradores geométricos sugiere que haya un marco geométrico natural para estos integradores (grupoides de Lie).
Problemas clásicos. Varios miembros de nuestro grupo están trabajando activamente en la solución cuestiones acerca de la conjetura de Kakeya, multiplicadores de Bochner-Riesz, operadores direccionales maximales, la conjetura de Kato y EDP's elípticas, desigualdades de dos pesos para la transformada de Hilbert, restricción de la transformada de Fourier.
Extensiones no conmutativas. El objetivo es desarrollar una forma no conmutativa de la teoría de Calderón-Zygmund para enfrentar ampliamente campos abiertos, como la convergencia de las series de Fourier y estimadores de norma para multiplicadores de Fourier en el dual compacto de grupos discretos arbitrarios.
Conexiones profundas interdisciplinarias. Este es, quizás, el aspecto más prometedor de nuestro trabajo. Más allá de las aplicaciones a EDP's no lineales, teoría de números o mecánica cuántica.
Desarrollamos profundamente la interacción entre ideas de la teoría de funciones geométricas y el cálculo de variaciones, por un lado con la teoría de soluciones débiles de EDP's no lineales y por otro lado, con varias versiones del problema de Calderón. También incorporamos técnicas punteras en análisis armónico para abordar problemas muy conocidos en teoría de dispersión, en el desarrollo de algoritmos de recuperación y existencia, unicidad, regularidad y formación de singularidades en ecuaciones que surgen en la mecánica de fluidos. Nuestro objetivo para esta investigación es eventualmente dar resultados en aplicaciones concretas en impedancia, difracción, tomografía termoacústica y ofrecer pruebas rigurosas de la existencia de singularidades.
El enfoque lagrangiano al transporte de fluidos: En los últimos años, la teoría de sistemas dinámicos ha proporcionado un marco de referencia para describir fluidos dependientes del tiempo. La finalidad es obtener nuevos desarrollos en el cálculo de vectores y exponentes de Lyapunov para trayectorias hiperbólicas no uniformes en fluidos bidimensionales dependientes del tiempo.
Inestabilidades en mecánica de fluidos: La teoría de la bifurcación ha provado ser una herramienta de gran utilidad para el análisis de inestabilidades en los flujos de fluidos geofísicos. La dinámica del manto y la tectónica de placas son estudiadas desde la perspectiva de la convección del fluido.
Sistemas dinámicos infinito-dimensionales: La teoría de sistemas dinámicos no autónomos ha abierto nuevas posibilidades en el análisis de modelos clásicos.
Aplicaciones a la biología matemática: Métodos numéricos para problemas de frontera libre en mecánica de fluidos y para problemas de biología matemática. Éstos incluyen métodos de elementos de contorno, métodos de los elementos finitos, métodos de Montecarlo y métodos espectrales.
Teoría analítica y combinatoria de números. Una de las características de la teoría analítica y combinatoria de números es la interacción de de una gran variedad de técnicas matemáticas, incluyendo combinatoria, análisis armónico, teoría de la probabilidad, geometría algebraica o teoría ergódica. La moderna teoría analítica de números se ha beneficiado del análisis armónico en algunos grupos relacionados con formas automórficas, mientras que la combinatoria aditiva es un término acuñado relativamente reciente para comprender los desarrollos de la teoría combinatoria clásica de números, principalmente centrada en problemas relacionados con la suma de enteros.
Teoría algebraica de números. Muchos problemas de la aritmética pueden ser interpretados como el problema de decidir si una variedad algebraica contiene puntos racionales. Las variedades modulares y las curvas modulares aparecen en la demostración de las tres piedras angulares de este área: la demostración de Faltings de la conjetura de Mordell; la demostración de Wiles del último teorema de Fermat usando la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, la conjetura de Birch y Swinerton-Dyer cuyo caso de rango analítico uno ha sido probado por Gross-Zagier y Kolyvagin. El concepto de altura también juega un papel primordial; aparece en dos de esas demostraciones y ha sido usado para diseñar algoritmos que resuelvan ecuaciones diofánticas. La teoría de Arakelov proporciona un marco en el que dar definiciones precisas y estudiar sus propiedades.
La investigación en esta línea trata con los aspectos globales de grupos finitos e infinitos. Nuestro principal tema es la teoría de grupos asintóticos. El grupo mantiene una estrecha colaboración con investigadores pertenecientes a otros centros, tanto dentro como fuera de España (en particular Reino Unido, Alemania, EE. UU., Israel e Italia, entre otros).
Queremos también reforzar el análisis numérico (que es relevante por sí mismo y por sus aplicaciones a muchas otras disciplinas) así como abrir nuevas líneas de investigación (procesos estocásticos, estadística, investigación operativa).
